asyan.org
добавить свой файл
1
УДК 515.2
КОНСТРУЮВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ КРИВИХ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ З ДВОМА ЗАДАНИМИ ТОЧКАМИ ПЕРЕГИНУ
Коваль Г.М., к.т.н

Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

тел.: (044) 454-94-46
Анотаціязапропоновано спосіб конструювання плоскої раціональної кривої третього порядку, який дозволяє побудувати просту дугу кривої за трьома точками та дотичними в них. При цьому проміжна точка дуги і одна з її кінцевих точок є точки перегину.

Розроблений спосіб конструювання дозволяє виконати цілеспрямовану локальну модифікацію сегментів плоских обводів першого порядку гладкості.
Ключові слова раціональна крива, проста дуга, точки перегину, плоский обвід, локальна модифікація.
Постановка проблеми. Використання для конструювання плоских обводів, які містять точки перегину, раціональних кривих третього порядку дозволяє зменшити кусковість обводу без збільшення порядку його сегментів.

Аналіз останніх досліджень. Спосіб конструювання раціональних кривих третього порядку з точками перегину описаний в статті [1], причому точки перегину розташовані в одній або в обох кінцевих точках сегменту. В роботі [2] описаний спосіб конструювання раціональних кривих третього порядку, в яких точкою перегину є проміжна точка сегменту.

Постановка завдання. Розробити спосіб конструювання простої дуги плоскої раціональної кривої третього порядку з двома точками перегину, розташованими в проміжній та кінцевій точках дуги.

Основна частина. Застосування для утворення плоскої раціональної кривої третього порядку (к3п) проективних пучків прямих першого (п1п) та другого (п2п) порядків (рис.1) дозволило запропонувати спосіб конструювання простої дуги кривої, яка проходить через базисні точки А,Е та В проективної системи координат і має в точці А та в точці перегину Е задані дотичні АВ и ЕК відповідно (рис.2) [2].

Рівняння такої к3п в проективній площині має вигляд:
(1)

де d=a/c, і при 0<d<1/3 дуга АЕВ не містить особливої точки, точок розриву та перегину (крім заданої точки Е).

Положення базисної точки С проективної системи координат при цьому визначене не повністю і обмежується її належністю прямій ЕАВЕ. Цілеспрямоване переміщення точки С вздовж цієї прямої дозволяє керувати формою простої дуги к3п. Параметр d рівняння (1) теж використовується для коректування форми простої дуги завданням проміжної точки дуги або дотичної в кінцевій точці дуги – точці В.



Рис.1. Пучки прямих першого

та другого порядків

Рис.2. Приклад кривої (1)


Визначимо форму та властивості к3п (1) при параметрі d=1/3 . При цій умові точка S  особлива точка кривої  належить координатній прямій х1=0 і має координати S(1:0:3). Рівняння к3п (1) при цьому спрощується і приймає вигляд:

(2)

або . (3)

Рівняння дотичної до к3п в точці В при d=1/3 має вигляд

. (4)

Визначимо точку перетину цієї прямої з кривою (3). Для цього рівняння (4) підставимо в неявне рівняння кривої (3), маємо: . Таким чином, точка В є точкою перегину кривої.

Для визначення третьої точки перегину к3п запишемо рівняння прямої, яка проходить через дві відомі точки перегину - точки Е та В: . Значення підставимо в рівняння кривої (3). Отримана таким чином залежність дозволяє визначити координати всіх трьох дійсних точок перегину (рис.3):

а) при маємо точку перегину В(0:1:0),

б) при маємо точку перегину Е(1:1:1),

в) при отримуємо третю точку перегину ВI(1:-1:1).



Рис.3. Точки перегину кривої (2)

Рис.4. Приклад кривої (2)


Точка ВI при цьому належить кривій другого порядку

(5)

яка огинає пучок прямих другого порядку.

Визначимо точки перетину цієї кривої з кривою (2). Для цього формули (2) підставимо в рівняння кривої (5). З отриманої таким чином залежності видно, що криві мають три спільні точки, в кожній з яких мають спільну дотичну:

а) при t=0 отримуєм точку А з дотичною х2=0;

б) при t=1 – точку Е з дотичною

в) при t=- 1 – точку ВI з дотичною

Для визначення параметрів точок розриву рівняння кривої (2) за допомогою формул переводу [3] запишемо в афінному просторі, маємо:



де , ,, .
Для визначення параметрів точок розриву рівняння

запишемо в вигляді ,

де .

Якщо в отриманому рівнянні коефіцієнти при ti додатні, то точки розриву в межах дуги АЕВ відсутні (рис.4).

Особлива точка S(1:0:3) має параметри і є ізольованою точкою кривої.

Таким чином, дуга АЕВ кривої (2) не має особливої точки, точок розриву (при та ) і, крім двох заданих точок перегину Е та В, інших точок перегину не містить.

Суміщення з точкою В точки перегину кривої надає можливість однозначно визначити положення координатної точки С.

Визначення положення точки С при заданих точках А,В,Е,К, F (ВF – дотична в точці В, ЕК – дотична в точці Е) проводиться за таким алгоритмом (рис.5):

1). Знаходимо точку ЕАВ з умови (ВАЕАВКАВ)=1/2.

2). Визначаємо положення точки СI(1:1:2) як точки перетину прямої ЕЕАВ з прямою x0=0,5x2 , дотичною до к3п в точці перегину В.

3). З умови (СЕАВЕСI)=2 визначаємо положення шуканої точки C (точку С також можно знайти як точку перетину прямих ЕЕАВ і ВКВС).



Рис.5. Визначення положення координатної точки С
На рис.6 наведені приклади кривих третього порядку (2) при різних вихідних умовах (табл.1).
Таблиця 1


Р

и

с.

Вихідні данні:

координати точок

Результуючі

розрахункові данні

А

В

Е

К

F

v

w

точка С



0;

0

200;

300

100;

90

150;

100

90;

0

0,74

0,22

219,8;

-204,7



4,9;

262,2

331,5;

384,8

242,5;

263,3

440,9;

126,4

157,5;

18,3

1,81

1,47

294,7;

115,3


Форма отриманої таким чином простої дуги (без зміни положення кінцевих точок та дотичних в них) може бути відкоректована одним з наступних способів:



а б

Рис.6. Приклади простої дуги кривої (2)
а) переміщенням точки Е по дотичній ЕК (рис. 7);

б) зміною нахилу дотичної ЕК при нерухомій точці Е (рис.8);

в) переміщенням точки Е і дотичної ЕК (рис.9).

На рис.7,8,9 показана модифікація к3п, зображенної на рис.6а.



Рис. 7. Модифікація простої дуги переміщенням точки Е



Рис.8. Модифікація простої дуги зміною нахилу дотичної ЕК

Рис.9. Модифікація простої дуги зміною положення точки Е та дотичної в ній


Висновки. Запропоновано спосіб конструювання простої дуги раціональної кривої третього порядку за трьома точками та дотичними в них, причому проміжна точка та одна з кінцевих точок дуги є точки перегину.

Розроблений спосіб конструювання плоских раціональних кривих третього порядку дозволяє виконати цілеспрямовану локальну модифікацію сегментів плоских обводів першого порядку гладкості переміщенням проміжної точки дуги або (та) дотичної в ній.
Література

1. Коваль Г.М. Конструирование рациональных кривых третьего порядка с точками перегиба // Прикл. геометрия и инж. графика. - К.: Будівельник, 1987.-Вып.44.- С. 67 - 68.

2. Коваль Г.М. Конструювання раціональної кривої третього порядку з заданою точкою перегину // Збірник праць XI міжнародної науково-практичної конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання». - Мелітополь: ТДАУ, 2009.- С. 94-101.

3. Надолинный В.А. Основы теории проективных рациональных поверхностей /Автореферат дисс. … д-ра техн.наук, 05.01.01.-М., 1989. - 30 с.

КОНСТРУИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ЗАДАННЫМИ ТОЧКАМИ ПЕРЕГИБА
Г.М.Коваль
Аннотацияпредложен способ конструирования плоской рациональной кривой третьего порядка, который позволяет построить простую дугу кривой по трем точкам и касательным в них. При этом промежуточная точка дуги и одна из ее конечных точек являются точками перегиба.

Разработанный способ конструирования позволяет выполнить целенаправленную локальную модификацию cегментов плоских обводов первого порядка гладкости.

CONSTRUCTING OF THE RATIONAL CURVES OF THE THIRD ORDER WITH TWO GIVEN POINTS OF INFLECTION
G. Кoval
Summary
The mode of constructing of the flat rational curve of the third order is offered which allows to construct a simple arc of the curve on three points and tangents in them. Thus a via point of an arc and one of her finite points are points of inflection.

The designed mode of constructing of the flat rational curves of the third order allows to execute targeted local modification of segments of flat contours of the first order of a smoothness.