asyan.org
добавить свой файл
1
10-Б алгебра (02.02.12)

РАДІАННА МІРА КУТІВ. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ КУТА ТА ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ.
Градусна міра кута
Ще в Древньому Вавілоні за довго до нашої ери жерці вважали, що свій денний шлях сонце проходить за 180 кроків, а значить один крок складає 1/180 розгорнутого кута.

У Вавилоні була прийнята шестидесятирічна система числення,

тобто фактично числа записувались у вигляді суми степенів числа 60, а не 10.

Тому зрозуміло, що для більш мілких одиниць вимірювання кутів один

“крок ” послідовно ділиться на 60 частин. А саме слово “градус” походить від латинського gradus (крок, сходинка). Секунда перекладається як “друга”.

Між градусами, хвилинами і секундами існують співвідно­шення: 1º = 60', 1' = 60'', 1' = , 1' = .
Радіанна міра кута
Крім градусної міри, використовуються і інші одиниці вимі­рювання кутів. У математиці і фізиці це радіанна міра кута.

1 радіанцентральний кут, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу (мал.1).


Мал. 1

Установимо зв’язок між радіанним і градусним вимірюванням кутів. Куту, що дорівнює 180°, відповідає півколо, тобто дуга, довжина якої дорівнює πR (мал. 2).


Мал. 2

Щоб знайти радіанну міру кута в 180°, треба довжину дуги πR розділити на довжину радіуса R:

.

Отже, радіанна міра кута в 180° дорівнює π: 180° = π рад. Із цієї формули одержуємо (розділивши ліву і праву частини рівності на 180):

1° = рад, або 1° 0,017 рад.

Із рівності 180° = π рад також одержуємо (розділивши ліву і праву частини рівності на π):

1 рад = , або 1 рад 57°.

Розглянемо приклади переходу від радіанної міри до градус­ної і навпаки.

Приклад 1. Виразіть в радіанах величини кутів 30°; 45°; 60°; 90°.

Розділивши ліву і праву частини рівності: 180° = π рад послідов­но на 6, 4, 3, 2, одержуємо: 30° = рад, 45° = рад, 60° = рад; 90° = рад.

Приклад 2. Виразіть в градусах величини кутів рад, рад, рад, рад.

Розділивши ліву і праву частини рівності: 180° = π рад послідовно на 10; 5; 12; 18, одержуємо: рад = 18º; рад = 36º; рад = 15º; рад = 10º.

Радіанна міра кута зручна для обчислення довжини дуги кола. Через те що кут в 1 радіан стягує дугу, довжина якої дорівнює R, то кут в α радіан стягує дугу довжиною: l = αR.

Якщо радіус кола дорівнює одиниці, то l = α, тобто довжина дуги дорівн

ює величині центрального кута, що опирається на цю дугу в радіанах.

Одиничне коло

Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 з центром у початку коорди­нат, яке називається одиничним (мал. 3). Позначимо точку Ро — правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у від­повідність кожному дійсному числу α точку кола за такими правилом:

Мал. 3 1) Якщо α > 0, то, рухаючись по колу із точки Ро в напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу ко­ла), опишемо по колу шлях довжи­ною а, кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою Ρα.

2) Якщо α < 0, то, рухаючись із точки Ρо (мал. 4) в напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях дов­жиною |α|; кінець цього шляху і буде шукана точка Рα.

Мал. 4

3) Якщо α = 0, то поставимо у відповідність точку Ро.

Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку Ρ0 одиничного кола. Якщо α = αо + 2πk, де k — ціле число, то при повороті на кут α одержуємо одну і ту саму точку, що й при повороті на кут αо. Якщо точка Ρ відповідає числу α, то вона відповідає і всім числам виду α + 2πk, де 2π — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k ціле число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу сторону.



Мал. 5 Мал.6

Означення синуса числового аргументу.

Синусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної пово­ротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α раді­ан (позначається sin α) (мал. 7)



Мал.7

Синус визначений для будь-якого числа α.

Значення синуса змінюється від (-1) до 1, тобто
Монотонність синуса в чвертях:

I чверть – зростає від 0 до 1

II чверть – спадає від 1до 0

III чверть – спадає від 0до (-1)

IV чверть– зростає від (-1) до 0

Знаки синуса в чвертях:

Означення косинуса числового аргументу.

Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної по­воротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається cos α)

Косинус визначений для будь-якого числа α.

Значення косинуса змінюється від (-1) до 1, тобто 

Монотонність косинуса в чвертях:

I чверть – спадає від 1 до 0

II чверть – спадає від 0до (-1)

III чверть– зростає від (-1) до 0

IV чверть– зростає від 0 до 1

Знаки косинуса в чвертях:


Означення тангенса. Лінія тангенсів.
Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса: .



Мал. 8

Тангенс визначений для всіх α, крім тих значень, для яких cos α = 0, тобто, α = + πn, n Ζ. Для розв'язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів (мал. 8). Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці Ρо. Нехай α — довільне число, для якого cos α 0, тоді точка Рα (cos α; sin α) не лежить на осі ординат і пряма ОРα перетинає t в деякій точці Тα з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Тα із трикут­ника ОРоТα.

; у = tgα.

Таким чином, ордината точки перетину прямих ОРα і t дорівнює тангенсу числа α. Тому пряму t нази­вають віссю тангенсів.

Означення котангенса. Лінія котангенсів

Котангенсом числа α називається від­ншення косинуса числа α до його синуса: .

Котангенс визначений для всіх α, крім таких значень, для яких sin α 0, тобто, a = π n, n Ζ.

Введемо поняття лінії котангенсів (рис. ). Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці . Для довільного числа α, якщо sin α 0 і відповідно точка Рα (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма ОРα перетинає пряму q у деякій точці Qα з ординатою, що дорівнює 1. Із трикутника ОQα маємо: , звідси х = ctg α. Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОРα і q дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають віссю котангенсів.
Знаки тангенса і котангенса в чвертях:


Таблиця значень тригонометричних функцій для деяких кутів


α




30°


45°


60°


90°


180°


0









π

sin α

0







1

0

cos α

1







0

-1

tg α

0



1



---

0

ctg α

---



1



0

---


Зображення кутів на одиничному колі в радіанах