asyan.org
добавить свой файл
1 2 ... 7 8
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ

Тема 15.1. Основні поняття теорії поля


Теорія поля – великий розділ фізики, механіки, у якому вивчаються скалярні, векторні, тензорні поля.

До розгляду скалярних і векторних полів приводить багато задач фізики електротехніки, математики, механіки й інших технічних дисциплін. Вивчення одних фізичних полів сприяє вивченню й інших. Так, наприклад, сили всесвітнього тяжіння, магнітні, електричні сили – усі вони змінюються обернено пропорційно квадрату відстані від свого джерела; дифузія в розчинах відбувається за законами, спільними з поширенням тепла в різних середовищах; вигляд силових магнітних ліній нагадує картину обтікання перешкод рідиною та ін.

Математичним ядром теорії поля є такі поняття, як градієнт, потік, потенціал, дивергенція, ротор, циркуляція й інші. Ці поняття важливі й у засвоєнні основних ідей математичного аналізу функцій багатьох змінних.

Полем називається область простору, у кожній точці якої визначено значення деякої величини. Якщо кожній точці цієї області відповідає певне число , кажуть що в області задано (визначено) скалярне поле (або функція точки). Інакше кажучи, скалярне поле – це скалярна функція разом з її областю визначення. Якщо ж кожній точці області простору відповідає деякий вектор , то кажуть, що задано векторне поле (або векторну функцію точки).

Прикладами скалярних полів можуть бути поля температури (повітря, тіла, …), атмосферного тиску, густини (маси, повітря, …), електричного потенціалу і т.д. Прикладами векторних полів є поле сили тяжіння, поле швидкостей частинок рідини, що тече (вітру), магнітне поле, поле густини електричного струму і т.д.

Якщо функція не залежить від часу, то скалярне (векторне) поле називається стаціонарним (або тим, що встановилося); поле, що змінюється з часом (змінюється, наприклад, скалярне поле температури при охолодженні тіла), називається нестаціонарним (або тим, що не встановилося). Далі будемо розглядати лише стаціонарні поля. Якщо – область тривимірного простору, то скалярне поле можна розглядати як функцію трьох змінних (координат точки ):

(1.1)

(Поряд з позначеннями , , використовують запис , де - радіус-вектор точки М.)

Якщо скалярна функція залежить тільки від двох змінних, наприклад і , то відповідне скалярне поле називають плоским.

Аналогічно: вектор , що визначає векторне поле, можна розглядати як векторну функцію трьох скалярних аргументів і : (або ).

Вектор можна подати (розклавши його по ортах координатних осей) у вигляді

,

де , , – проекції вектора на осі координат. Якщо в вибраній системі координат одна з проекцій вектора дорівнює нулю, а дві інші залежать тільки від двох змінних, то векторне поле називається плоским. Наприклад: .

Векторне поле називається однорідним, якщо – постійний вектор, тобто і – сталі величини. Таким полем є поле тяжіння. Тут , , , прискорення сили ваги, маса точки.

Надалі будемо припускати, що скалярні функції ( – визначають скалярне поле, , і – які задають векторне поле) неперервні разом з своїми частинними похідними.

Приклад 1.1. а)Функція визначає скалярне поле в точках простору, обмеженого сферою з центром в початку координат (в кулі) і радіусом .

б)Скалярне поле визначене у всьому просторі, за винятком точок осі (на ній ).

Приклад 1.2. Знайти поле лінійної швидкості матеріальної точки , що обертається проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю навколо осі .

Кутову швидкість подамо у вигляді вектора , що лежить на осі , напрямленого вгору. Маємо: .

Побудуємо радіус вектор точки М (див. рис.1)

Числове значення лінійної швидкості (модуль), як відомо з курсу фізики, дорівнює , де - відстань точки обертання від осі обертання (осі ). Але ( - кут між вектором і віссю ). Отже, , тобто .

Вектор швидкості направлений убік обертання, збігається з напрямком векторного добутку ( , вектори утворять праву трійку). Отже, , тобто

або .

Поле лінійних швидкостей тіла, що обертається навколо нерухомої осі, є плоске векторне поле. ●



следующая страница >>