asyan.org
добавить свой файл
1
Тема 12. Скалярний добуток. Евклідів та унітарний векторний простір.

Як і раніше, малими латинськими літерами будемо позначати вектори, а малими грецькими – елементи поля.

1. Полуторалінійні форми і унітарні простори.

Означення 6. Функція , що кожній парі векторів ставить у відповідність деякий елемент поля комплексних чисел С, називається полуторалінійною формою, якщо для будь-яких векторів з і будь-якого комплексного числа маємо



Зауваження. Якщо лінійний простір є дійсним, то полуторалінійні формі переходять в білінійні форми.

Як і у випадку квадратичних форм, зафіксуємо в деякий базис . Покладемо . Нехай , - запис векторів та у вказаному базисі. Тоді

. (7)

Числа називаються коефіцієнтами полуторалінійної форми в базисі . і утворюють матрицю.

Означення 3. Полуторалінійна форма називається ермітовою, якщо для любих векторів та виконується .

Матриця, що відповідає ермітовій формі, має властивість:, і називається ермітовою.

.

Аналогічно, кожній ермітовій формі ставиться у відповідність квадратична форма .
2. Означення евклідового та унітарного векторного простору

Нехай - n-вимірний векторний простір над полем дійсних чисел .

Означення 1. - n-вимірний векторний простір над полем дійсних чисел називається евклідовим, якщо кожній парі векторів з , взятих в певному порядку, поставлено у відповідність деяке дійсне число, яке називається скалярним добутком векторів , що має такі властивості:

А1.

А2.

А3.

А4. при , при .

Над полем комплексних чисел :.

Означення 2. - n-вимірний векторний простір над полем комплексних чисел називається унітарним, якщо кожній парі векторів з , взятих в певному порядку, поставлено у відповідність деяке комплексне число, яке називається скалярним добутком векторів , що має такі властивості:

А1.

А2.

А3.

А4. при , при .

Тут через позначено число, комплексно спряжене до
Зауваження. Означення 1 та Означення 2 можна об’єднати, якщо зауважити, що дійсне число співпадає з своїм комплексно спряженим, тобто якщо , то . Через це евклідів простір називають дійсним унітарним простором, або часом кажуть про унітарний простір, не уточнюючи, над яким полем ми його розглядаємо.
З властивостей А1,А2 випливає, що

Тобто (1)

Аналогічно з А1-А3 випливає, що



Звідси звичайним чином одержуємо загальну формулу



Співвідношення (1) при дає



Приклад 1. Розглянемо нескінченовимірний простір всіх неперервних функцій з комплексними значеннями, визначених на відрізку [0,1].Додавання та множення цих функцій на число визначаються звичайним чином, а скалярний добуток функціїї на визначається за формулою:



Завдання 1. Довести, що для заданого так скалярного добутку виконуються А1-А4.

Зауваження. Нескінченовимірний простір зі скалярним добутком називається предгільбертовим простором. (Він називається гільбертовим, якщо має властивість повноти як метричний простір, тобто якщо будь-яка послідовність вкладених замкнених сфер з нескінчено спадаючими радіусами має спільну точку. В функціональному аналізі доводиться, що предгільбертовий простір завжди може бути поповненим до гільбертового простору.)
Приклад 2. Розглянемо лінійний простір рядків довжини n з елементами з поля С. За скалярний добуток рядка на рядок

візьмемо вираз



Звідси видно, що

Оскільки модулі - невід’ємні дійсні числа, сума їх квадратів буде невід’ємним дійсним числом, що дорівнює 0 тільки коли всі доданки дорівнюють нулю.

Приклад 3. В тому ж самому комплексному лінійному просторі можна ввести скалярний добуток векторів та - більш загальним співвідношенням:

,

де комплексні числа утворюють матрицю, компоненти якої задовольняють умові , а квадратична форма

(1)

для всіх комплексних приймає дійсні невід’ємні значення і дорівнює 0 лише при умові



Означення. Матриця



додатно визначеної квадратичної форми (1) на зивається матрицею Грама скалярного дрбутку.
Завдання 2 Перевірити, що визначений таким чином скалярний добуток задавольняє аксіомам А1-А4
2. Нерівність Коші-Буняковського.

Для будь-яких двох векторів унітарного простору має місце нерівність


(2)

Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли вектори та лінійно залежні.

Доведення. Якщо , то ліва і права частини нерівності дорівнюють нулю, отже вона виконується.

Нехай . За аксіомою А4 для будь-якого числа маємо

(3)

звідки, перемножаючи, одержимо:



Підставимо в останню нерівність замість число і домножимо всі члени нерівності на додатнє число . В результаті одержимо



або



Нерівність доведено. #

Якщо та лінійно незалежні, то в (3) буде справджуватись строга нерівність і в результаті ми одержимо замість (2) нерівність

Якщо ж вектори та лінійно залежні, наприклад , то



Отже, додаткове зауваження до нерівності Коші-Буняковського також доведено.#
3. Ортогональний базис і його властивості.

Довжина вектора і ортогональність векторів в унітарному просторі вводяться так само, як в евклідовому.

Зауваження. Ввведене для евклідового простору поняття кута між векторами для унітарного комплексного простору втрачає сенс, оскільки скалярний добуток, взагалі кажучи, є комплексним числом.
Ортонормованим базисом n-вимірного унітарного векторного простору називатимемо сукупність векторів , що задовольтняють умовам:

(4)

Як і в евклідовому просторі, доводиться, що ці вектори є лінійно незалежними і, отже, утворюють базис.

Аналогічно за допомогою процесу ортогоналізації доводиться існування в довільному n-вимірному унітарному векторному просторі ортонормованого базису.

Зобразимо скалярний добуток двох довільних векторів n-вимірного унітарного простору через їх координати відносно ортонормованого базису . Нехай , - запис векторів та у вказаному базисі. Тоді за аксіомами А1-А4 згідно зі співвідношенням (4) маємо

З другого боку, зобразимо координати довільного вектора відносно ортонормованого базису . Домножуючи розклад цього вектора за базисом скалярно на і враховуючи (4), одержимо ( для будь-якого k, рівного 1,2,…,n)



Отже, як і в евклідовому просторі, координати довільного вектора відносно ортонормованого базису дорівнюють скалярним добуткам цього вектора на відповідні базисні вектори.

Аналогічно тому, як це доводилось для евклідових просторів, доводиться, що всі унітарні простори однакової розмірності n ізоморфні між собою.

Завдання 3. Довести.

Додаток


. 1.1 Лінійна та білінійна форма .

Нехай - n-вимірний векторний простір над полем дійсних чисел Р.

Означення 1. Функція , що кожному вектору ставить у відповідність деякий елемент поля P, називається лінійною формою, якщо для будь-яких векторів з і будь-яких елементів поля маємо

Означення 2. Функція , що кожній парі векторів ставить у відповідність деякий елемент поля P, називається білінійною формою, якщо вона є лінійною формою відносно кожного з векторів-аргументів та .
Зафіксуємо в деякий базис . Покладемо .

Нехай , - запис векторів та у вказаному базисі. Тоді

. (5)

Числа називаються коефіцієнтами білінійної форми в базисі . Вони природнім чином утворюють матрицю, якщо вважати номер i за номер рядка, а j – за номер стовпця.
Означення 3. Якщо функція не змінюються при перестановці її аргументів, тобто , то білінійна форма називається симетричною.
Симетричній білінійній формі відповідає симетрична матриця.

Якщо в білінійній формі вектор покласти рівним вектору , то одержимо квадратичну форму . Квадратична форма є функцією одного вектора простору .

Таким чином, кожній білінійній формі відповідає квадратична форма
Означення 4.. Квадратична форма називається додатно визначеною, якщо вона приймає додатні значення при будь-якому :

при .

Означення 5. Векторний простір називається евклідовим, якщо в ньому визначено скалярний добуток - а саме, в задано білінійну симетричну форму з додатно визначеною квадратичною формою, і скалярний добуток задається формулою:

Згідно з (1) маємо

. (6)

Симетрична матриця , де називається матрицею Грама скалярного добутку. З (2) випливає, що скалярний добуток визначає матрицю Грама, і навпаки, кожна симетрична матриця, якій відповідає додатньо визначена квадратична форма, повністю визначає скалярний добуток векторів даного простору і її можна взяти за матрицю Грама.

Питання 4: Як змінюється матриця Грама скалярного добутку при перевиборі базису?

Чи можна вибрати базис в просторі таким чином, щоб матриця G набула найпростіший вигляд – стала одиничною?
Скалярний добуток в комплексному векторному просторі визначає деяку ермітову форму, і навпаки, кожна ермітова форма, якій відповідає додатно визначена квадратична форма, задає скалярний добуток в комплексному векторному просторі.

Матриця Грама скалярного добутку в комплексному векторному просторі визначається аналогічно і є ермітовою матрицею.
Завдання.

5. Довести, що якщо , то . ( Тут - довжина векторів .

6. Користуючись нерівністю Коші-Буняковського, довести

а) для любих дійсних

б) для любих комплекних

7. Написати нерівність Коші-Буняковського для простору з прикладу 1.

8*. Використовуючи нерівність Коші-Буняковського довести нерівність трикутника. (3)

Література.

1 ИльинВ.А. Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Стр.98-102, 203-205

2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре Стр. 345-351.

3. Калужнин Л.А., Вишенський В.А., Шуб Ц. О. Лінійні простори. Стр. 135-148

4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Стр. 199-211

5 Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.

№№1352, 1353, 1354, стр. 176

№№ 1413, 1415, 1416, 1419, 1420 стр 184.(5)