asyan.org
добавить свой файл
1
Площина

1. Загальне рівняння площини

Ч

ерез точку перпендикулярно до вектора проходить одна-єдина площина (рис.1). Вектор називають нормальним вектором площини.


Знайдемо рівняння цієї площини. Нехай – довільна точка площини, тоді вектори і перпендикулярні, отже, скалярний добуток дорівнює нулю:

(1)

Рівняння (1) – рівняння площини, яка проходить через точку і має нормальний вектор . Розкривши дужки і позначивши

, одержимо рівняння
(2)

яке називають загальним рівнянням площини.

Зауваження. При довільних значеннях А, В і С, одночасно не рівних нулю, рівняння (1) визначає в’язку площин – сукупність площин, які проходять через дану точку – центр в’язки.
2. Неповні рівняння площини

Рівняння (2) називають неповним, якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю. Окремі випадки загального рівняння площини подано у табл. 1.

Таблиця.1

Умова

Рівняння площини

Положення площини

D=0

Ax+By+ Cz = 0

проходить через початок координат

А=0

By+ Cz + D = 0

паралельна осі Ох

А=0, В=0

Cz + D = 0

паралельна площині Оху

А=0, В=0, D=0

z = 0

площина Oxy

А=0, D=0

By + Cz = 0

проходить через вісь Ох

Інші можливі випадки неповного рівняння площини розгляньте самостійно.
3. Рівняння площини, яка проходить через три точки

Нехай дано три точки , , які не лежать на одній прямій (рис. 2). Ці точки однозначно визначають площину. Знайдемо рівняння цієї площини. Для цього візьмемо у цій площині довільну точку і утворимо вектори

,




Оскільки усі чотири точки лежать в одній площині, а, отже, і утворені вектори, то ці вектори компланарні. Згідно з умовою компланарності мішаний добуток , або в координатній формі

(3)

Отже, (3) – рівняння площини, що проходить через три задані точки.

Розкриваючи визначник за елементами першого рядка, одержимо загальне рівняння площини .
4. Рівняння площини у відрізках на осях

Нехай площина перетинає осі координат у точках, і (рис. 3), тоді рівняння (3) набуває вигляду:

,

я

ке рівносильне рівнянню
(4)

Рівняння (4) називають рівнянням площини у відрізках на осях.



5. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності

Нехай задано площини

α1: , α2: .

Кут між цими площинами знаходять з умови



Умова паралельності площин:



Умова перпендикулярності площин:



Вправи для аудиторної і самостійної роботи

1. Дано координати точок , , , . Знайдіть:

а) рівняння площини ;

б) рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині ;

в) рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора ;

2. Складіть рівняння площини, що проходить через точку паралельно до векторів та .
Відповіді.

1. а) ;

б) ;

в) ;

2..