asyan.org
добавить свой файл
1
Обчислення теплоємності газів на підставі квантових уявлень
Останнє, що залишилось нам зробити, на підставі отриманих квантових уявлень визначити молярну теплоємність. У загальному випадку

.

Знайдемо теплоємність у випадку квантових осциляцій. Внутрішня енергія системи осциляторів становить

,

де ми використовуємо сталу Авогадро, оскільки теплоємність у нас молярна (теплоємність одного моля газу).

Тоді

.

Остаточно вираз для теплоємності в рамках квантової теорії набуває вигляду

.



Розглянемо граничні випадки.

1. Область високих температур . Отже

і .

Тоді

.

Цей результат можна було очікувати, оскільки при високих температурах квантова теорія співпадає із класичною. На кожний ступінь вільності для потенціальної і кінетичної енергії у класиці попадала величина , отже сумарна становила .

2. Область низьких температур . Величина буде дуже великою, і одиницею поряд із нею можна знехтувати. Тоді

.

При низьких температурах коливальні ступені вільності виморожуються, їх енергія прямує до нуля, і це призводить до прямування до нуля теплоємності, що й підтверджено дослідом.
Такий же розрахунок проведемо і для обертального руху. Внутрішня енергія системи осциляторів становить

,

де ми використовуємо сталу Авогадро, оскільки теплоємність у нас молярна (теплоємність одного моля газу). Тоді

.

Остаточно вираз для теплоємності в рамках квантової теорії набуває вигляду

.



Граничні випадки.

1. Область високих температур . Отже

і .

Тоді і .

Теж передбачуваний результат, оскільки при високих температурах квантова теорія співпадає із класичною. На кожний ступінь вільності для обертального руху у класиці попадала величина , отже сумарна становила .

2. Область низьких температур . Величина буде дуже великою, і одиницею поряд із нею можна знехтувати. Тоді

.

При низьких температурах обертальні ступені вільності виморожуються, їх енергія прямує до нуля, і це призводить до прямування до нуля теплоємності, що й підтверджено дослідом.

Наостанок, отримаємо вираз для молярної теплоємності при високих температурах у квантовому випадку і порівняємо його з класикою.

Ще раз нагадаю – поступальний рух не квантується, теплоємність, що пов’язана із ним становить . Ми отримали для коливального руху із квантуванням і для обертального руху на кожен ступінь вільності (їх два) .

Тоді повна теплоємність , що співпадає із результатами, отриманими у рамках класичних уявлень.