asyan.org
добавить свой файл
1
Накопичення заряду на сенсорах металевого стріп-детектора під дією іонного пучка: експеримент і моделювання
М.В. Макарець1, Є. О. Петренко1, В.М. Пугач2

1Київський національний університет імені Тараса Шевченка. Просп. акад. Глушкова, 2, к.1, Київ. 2Інститут ядерних досліджень НАН України. 03680, Просп. Науки, 47, Київ.
В роботі проведено моделювання методом Монте-Карло руху електронів всередині алюмінієвої плівки товщиною кілька десятків мікрометрів, яка є чутливим елементом стріп-детектора. Вважалося, що вторинні електрони генеруються іонами міді Cu++ з енергією 5-25 кеВ. Для іонів врахували пружні зіткнення з атомами мішені, іонізацію атомних рівнів та захоплення електронів, а для вторинних електронів – пружні зіткнення з атомами мішені, іонізацію атомних рівнів, генерацію плазмонів та фононів. Отримано залежність накопиченого заряду на сенсорах від енергії іонів, яка узгоджується з експериментальними даними.

Ключові слова:

Іонні пучки, тонкі плівки, вторинна електронна емісія, металевий стріп-детектор, моделювання;

Ионные пучки, тонкие пленки, вторичная электронная эмиссия, металлический стрип-детектор, моделирование;

Ion beams, thin films, secondary elector emission, metal strip-detector, modeling.

Вступ

Металеві стріп-детектори вже близько десяти років використовуються для детектування та контролю параметрів пучка швидких частинок [1-3]. Їх вирізняє ціла низка переваг, зокрема, надзвичайно висока радіаційна стійкість, компактність, висока позиційна точність, простота використання. Разом із цим, для їх вдосконалення та покращення характеристик необхідно більш детально вивчити фізичні явища, що відбуваються в металевому сенсорі детектора при проходженні швидкої зарядженої частинки. У цьому напрямку є широке коло процесів для детального вивчення та моделювання, зокрема: 1) взаємодія швидких багатозарядних іонів з металевою плівкою, 2) генерація та еволюція рою вторинних електронів; 3) вплив підкладки та зовнішніх електричних полів на вихід електронів з плівки та накопичення заряду на ній; 4) вплив структури поверхні плівки на вихід електронів. В даній роботі основна увага приділена моделюванню генерації та еволюції вторинних електронів всередині металевої плівки та накопиченню на ній заряду.

Оскільки електронні пучки лежать в основі електронної мікроскопії, Оже-спектроскопії та багатьох інших методик, то моделювання їх еволюції в твердому тілі проводилося досить давно [4-11]. Для нерелятивістських електронів в розрахунках бралися до уваги бінарні зіткнення з атомами мішені та взаємодія з виродженим електронним газом. Пружна електрон-атомна взаємодія розраховувалася в наближенні Борна, або Мотта [12], або ВКБ [13], залежно від енергії електронів та необхідної точності розрахунків. Автори завжди враховували екранування, обмінну, а іноді й кореляційну взаємодію. Значно ширше коло наближень для непружної взаємодії. Розрізняють зіткнення із електронами внутрішніх і зовнішніх оболонок, а для їх перерізів використовують різні наближення. Найбільш поширеними є, відповідно, модель Руда [14,15] та діелектрична модель, у якій залежність діелектричної проникності від хвильового вектора наближуються в рамках моделі Пена [16].


Модель

Швидкий іон, рухаючись через плівку стріп-детектора, зазнає зіткнень різного типу з її атомами та електронами. Далі буде показано, що при енергії іона в межах 5-25 кеВ пружне розсіяння на атомах мішені, їх збудження та іонізація, а також захоплення іоном електронів мають близькі перерізи. Швидкі електрони, створені при іонізації атомів, у свою чергу, запускають іншу низку зіткнень, які також можуть привести до появи наступних поколінь електронів і т. д. У розвитку таких каскадів визначальну роль відіграють імовірності зіткнень та їх порогові енергії, тому далі буде розглянуто лише ті з них, які мають найбільші перерізи у вказаному вище діапазоні енергій.

Пружні зіткнення іонів з атомами плівки детектора розглядали в рамках класичної моделі парних зіткнень, справедливої, коли траєкторія іона в межах сфери з радіусом не більшим навколо атома наближено виходить на асимптоти ( – середня міжатомна відстань). В роботі вважалося, що ця умова виконується, якщо мінімальне зближення іона і атома у зіткненні . Тоді сумарний переріз таких розсіянь іона з початковою енергією у л-системі («л» – «лабораторна»), у яких він пружно передає атому плівки енергію від деякої до максимальної , згідно із [17] задається як:

(1)

де , , – маса, індекси 1 і 2 позначають іон і атом, – прицільна відстань, – розв’язок рівняння

, (2)

– енергія іона в ц-системі («ц» – «центр мас»), – потенціал іон-атомної взаємодії, а у ліва частина (2) – кут розсіяння в ц-системі.

Класичний повний переріз розсіяння для вільних атомів [17], а у середовищі для парних зіткнень –. Тому розвинуті різні моделі, які обмежують [18]. В роботі з цією метою задали мінімальну втрату енергії , тобто , а з умови вважали енергію іона , вище якої вважали зіткнення парними. Тобто парне пружне розсіяння відбувається лише тоді, коли енергія іона , а її втрата . Решту зіткнень ігнорували. Також вважали, що на момент пружного зіткнення іон вже захопив електрони і став атомом, а тому використали потенціал [18] атом-атомної взаємодії. Розрахунки для атома міді у алюмінії ( Å) показали, що при еВ і та  Å енергії  кеВ та 50 кеВ, відповідно; а при  еВ і тих же вони зменшуються до  кеВ і 10 кеВ. Звідси видно, що значно чутливіша до зміни , ніж до , тому результати класичної моделі парних зіткнень можна вважати надійними при енергії іонів міді у алюмінієвій плівці вищій за десятки кеВ, а для нижчих енергій їх потрібно розглядати як оцінку.

Для ймовірності розсіянь іона, у яких він втратив енергію від до , справедливо:

, (3)

тому із рівняння , де – рівномірно розподілене випадкове число, шукали , а потім кути розсіяння в ц- і л-системах і . Азимутальний кут у всіх типах зіткнень вважали випадковим, рівномірно розподіленим від до .

Іонізацію -ої оболонки атома плівки із повною і кінетичною енергіями і , відповідно, та заселеністю розглядали в рамках моделі Гризінського [19,20], яка справедлива у випадку кулонової взаємодії іона з електронами атома. Тобто вважали, що у цих зіткненнях іон ще не захопив електрони. Тоді диференціальний і повний перерізи іонізації (індекс опускаємо):

(4)

(5)

де , – радіус Бора, – заряд іона в одиницях заряду електрона, , – Ридберг, , , маса електрона, , , , , , а – точка перетину низько- та високоенергетичних гілок у (5).

Тепер ймовірність іонізацій атома, у яких іон втратив енергію від до :

, (6)

де – інтеграл від (4) у вказаних межах. Із (6) шукали аналогічно до (3). При пошуку кутів розсіяння іона, електрона та іонізованого атома плівки врахували дані [21], згідно яких останній має енергію не вище сотні еВ при вказаних вище енергіях іонів. У [19] його рух також не враховано, а із законів збереження випливає, що тоді кут розсіяння іона , електрона , а його енергія .

Захоплення електронів іоном, згідно [19], не змінює його енергію і напрям руху, тому розраховували лише повний переріз:

, (7)

де , – енергії зв’язку електрона в іоні після та у атомі плівки до захоплення. Кінетична енергія іона зростає на після захоплення електрона. Якщо ж , то (7) стає сингулярним при , оскільки . В цьому випадку повний переріз вираховується за детальним балансом [22] і кінетична енергія зменшується на .

Іонізація іона також практично не змінює його напрям руху, тому враховуємо лише повний переріз[23,24]:

(8)

де q – передача імпульсу, , v швидкість іона, – формфактори частинки і атому мішені, рівні відповідно: і , ξ – стала екранування електронами оболонки (для 4s-стану міді ξ=5.84). Втрата енергії іоном після зіткнення складається з енергії зв’язку електрона на n-оболонці в іоні та кінетичної енергії вільного електрона. Кінетична енергія електрона сягає від 0 до 5 еВ. Тому вважаємо, що атом не змінює свого напрямку руху, а електрон рухається в перпендикулярному напрямку.

Пружне розсіяння електронів на атомах розраховували в рамках квантової моделі парних зіткнень [12]. Тоді диференціальний переріз :

(9)

де – енергія електрона в л-системі (в ), – його хвильовий вектор (в ), – кут розсіяння в л-системі, а – фазові зсуви.

Останні залежать від енергії електрона і визначаються асимптотичною поведінкою хвильової функції на нескінченності, тобто . Їх шукали з відповідних рівнянь Шредингера, які згідно [17], звели до диференціальних рівнянь першого порядку:

(10)

де та – функції Бесселя першого і другого роду, відповідно. Початкові умови , , а відстань, до якої проводили інтегрування в (5), брали рівною половині міжатомної. Для деяких енергій і кутів розсіяння для досягнення заданої точності необхідно було враховувати сотні доданків в (4).

Повний переріз пружного розсіяння є інтегралом (3) по всіх кутах, що дає [12]:

, (11)

а ймовірність розсіяння в інтервал кутів, менших заданого , задавали, як:

. (12)

Далі з рівняння , де – рівномірно розподілене випадкове число, чисельно знаходили кут розсіяння , а азимутальний кут розігрували аналогічно розсіянню іона.

Розрахунки повного перерізу пружного розсіяння для кількох різних потенціалів обміну та кореляції показали, що він може відрізнятися у два-три рази при низьких енергіях. При цих енергіях повний переріз розсіяння електрона на атомі можна якісно наблизити виразом , отриманим у моделі жорстких сфер [12], де – радіус сфери. Із отриманих результатів випливає, що  Å в залежності від потенціалу взаємодії, що не виходить суттєво за межі прийнятої моделі бінарних зіткнень.

Для розрахунку диференційного та повного перерізів іонізації атомних рівнів при зіткненні з електронами використали напівемпіричну модель Кіма-Руда [14,15] із диференціальним перерізом:

(13)

де – заселеність -го енергетичного рівня атома, – енергія електрона, що налітає, – втрати енергії, та – повна та кінетична енергії електрона на -му рівні, відповідно, , похідна по енергії від сили осцилятора електронного переходу із -го рівня атома в неперервний спектр.

Для опису розсіяння на фононах брали оператор взаємодії заряджених частинок з повздовжніми акустичними фононами в представленні чисел заповнення:

(14)

де ,– швидкість довгохвильових акустичних фононів гілки ; – сумарна маса атомів, які входять до елементарної комірки.

В якості хвильових функцій фононів брали хвильові функції гармонічного осцилятора, які згідно [25], нормовані на одиничну густину потоку та на об’єм елементарної комірки. Хвильова функція частинки – це плоска хвиля, нормована на -функцію [25].

Використовуючи формулу Борна отримали диференційний переріз:

(15)

де і – хвильові вектори частинки до і після взаємодії з фононом, відповідно, із закону збереження імпульсу, – об'єм елементарної комірки.

Ймовірність втрати енергії T розігрували таким самим чином, як і в попередніх випадках. Кут розсіяння дуже малий, тому їм нехтували.

Для розрахунку повного перерізу генерації плазмонів та вибивання електрона з зони провідності використовували модель Пена [16], згідно якої:

(16)

де – уявна частина оберненої діелектричної проникності, для розрахунку якої використали експериментальну криву , аналітично продовжену на вісь Q, W – енергія створеного плазмону, Q – енергія електрону, вибитого з зони провідності. При моделюванні розігрували два випадкових числа , для кожної із змінних інтегрування та використовували підхід розігрування втрати енергії схожий із попередніми випадками.


Результати та обговорення

Для моделювання експерименту в роботі використали модель Монте-Карло, в якій середню довжину вільного пробігу частинки вираховували за формулою

, (17)

де n – концентрація атомів в мішені, а – сума перерізів усіх процесів. Після того, як частинка пройшла відстань, розподілену за законом , вона розсіюється за одним з вище описаних процесів. Процес за яким розсіюється частинка в заданому стані розігрувався з умови того, що імовірність i-го процесу рівна .

Було проведено моделювання в якому на алюмінієву плівку товщиною декілька десятків мікрометрів падав пучок іонів міді Cu++.

На Рис. 1 первинний пучок іонів потрапляє на плівку детектора зверху.



Рис 1. Падіння іонів міді на алюмінієву плівку.

В програмі під час руху іону міді всередині плівки утворювалися вторинні електрони, які в свою чергу утворювали третинні і т. д., тому на виході з плівки поряд з позитивно зарядженими іонами міді спостерігалися вторинні електрони. Також електрони вилітали і у зворотному напрямку. На Рис. 2 зображена залежність кількості заряду накопиченого детектором. Кількість заряду вираховувалась як:

,

де – повний заряд іонів, які застрягли всередині плівки, – заряд, винесений електронами, що вилетіли в напрямку руху первинного пучка іонів, – заряд, який винесли з собою електрони, що вилетіли в зворотному напрямку.

Оскільки на експерименті товщина плівки сенсору відома тільки приблизно, то проводили розрахунки для плівок різної товщини і підібрали таку її товщину, щоб результати розрахунку і експерименту були максимально близькими. Як буде показано нижче, при товщині плівки більшій за 1 мкм кількість створених вторинних електронів перестає залежати від товщини. Нижче, Рис. 3, наведено порівняння розрахунків для різної товщини плівок.



Рис 2. Залежність накопиченого заряду на плівці Al товщиною 50 мкм від енергії падаючих іонів Cu++. Заповнені кружечки, з’єднані суцільною кривою – моделювання, порожні кружечки та штрихована крива – експеримент. По вісі ординат відкладена величина пропорційна заряду, створеного іонним пучком на сенсорі детектора.



Рис 3. Залежність накопиченого заряду на плівці Al від енергії падаючих іонів Cu++ і товщини плівки.

Далі розрахували кути, під якими вилітають вторинні електрони з плівки.



Рис 4. Кутовий розподіл електронів. Та ж сама плівка, що і на Рис. 2.

На Рис. 4 видно, що більшість вторинних електронів вилітає під кутом близьким до 45 градусів.

Моделювання показало, що заряд , утворений вторинними електронами, пропорційний кількості зіткнень частинки всередині плівки. Це число зростає разом із товщиною плівки, та із зменшенням довжина вільного пробігу. Вторинні електрони вилітають тільки з тонкого шару біля поверхні, тому їх кількість набуває насичення із збільшенням товщини плівки при сталій енергії частинок, що налітають, як це видно з Рис. 5а.

Хоча енергія іонів, розглянутих у роботі, і не достатня для іонізації атомів мішені, проте вторинні електрони утворюються в процесах вторинної іонізації пучка іонів. Переріз цього процесу , тому довжина вільного пробігу (17) між утвореннями вторинних електронів пропорційна квадрату енергії частинки. Це підтверджує Рис. 5б, з якого видно, що співвідношення лінійне для малих товщини сенсору, при збільшенні товщини мішені лінійність порушується — спочатку спадає, а після 1 мкм виходить на стаціонарний рівень Рис. 5а.





Рис 5. Співвідношення , де Q ­− заряд створених вторинними електронами, які емітовані с поверхні плівки.

Отримані якісні залежності дають змогу робити оцінку однієї із трьох величин (створений заряд, енергія первинного пучка, товщина мішені) по заданих значеннях двох інших.

Висновки

Моделювання руху іонів та електронів у плівці стріп-детектора, з урахуванням лише домінуючих процесів їх пружного розсіяння та іонізації дає залежність накопиченого на плівці заряду від енергії іонів, яка співпадає із експериментальною. Спираючись на це можна оцінити інші їх характеристики, зокрема спектр вторинних електронів, кутовий розподіл емітованих частинок з поверхні мішені, розподіл „зупинених” електронів по глибині, та залежність кількості вторинних електронів від енергії. Запропонована модель справедлива для енергій, де довжина хвилі де-Бройля електронів більша за міжатомну відстань і не враховує релятивістські ефекти.

Література

[1] V. Pugatch et al. Micro-strip metal foil detectors for the beam profile monitoring // Proc. of the DIPAC 2005, Lyon, France, 2005, p. 18-20.

[2] V. Pugatch, O. Mykhailenko. Micro-strip metal detector for the beam profile monitoring // NIM, 2007, Vol. A 581, p. 531-534.

[3] V.Pugatch at. all. Metal and Hybrid TimePix detectors imaging beams of particles // Nucl. Inst. A650 (2011)194-197.

[4] J.D. Martinez, R.Mayol, F. Salvat. Monte Carlo simulation of kilovolt electron transport in solids // J. Appl. Phys., 1980, Vol. 67, No. 6, p. 2955-2964.

[5] Z.J. Ding, R. Shimizu, K. Goto. Background formation in the low-energy region in Auger electron spectroscopy // J. Appl. Phys., 1994, Vol. 76 (2), p. 1187-1195.

[6] Z.J. Ding, X.D. Tang, R. Shimizu. Monte Carlo study of secondary electron emission // J. Appl. Phys., 2001, Vol. 89, No. 1, p. 718-726.

[7] Z.J. Ding, X.D. Tang, H.M. Li. Monte Carlo calculation of the energy distribution of backscattered electrons // Int. J. Mod. Phys. B., 2002, Vol. 16, No 28&29, p. 4405-4412.

[8] M. Yasuda, S. Yamauchi, H. Kawata, K. Murata. Quantitative electron microprobe analysis of aluminum, copper, and gold thin films on silicon substrates // J. Appl. Phys., 2002, Vol. 92, No. 6, p. 3404-3409.

[9] Z.J. Ding, K. Salma, Z.M. Zhang. Energy distribution of backscattered electrons from heavy metals // [J]. Acta Metallurgica Sinica, 2005, Vol. 18(3), p. 345-350.

[10] F. Salvat, J.M. Fernández-Varea. Overview of physical interaction models for photon and electron transport used in Monte Carlo codes // Metrologia, 2009, Vol. 46, p. 112–138.

[11] S.F. Mao, Z.J. Ding. A Monte Carlo simulation study on the image resolution in scanning electron microscopy // Surf. Interf. An., 2010, Vol. 42, No 6-7, p. 443–1377.

[12] Н. Мотт, Г. Месси. Теория атомных столкновений // М.: Мир, 1969. – 756 с.

[13] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1973. – 208 с.

[14] Y.-K. Kim, M.E. Rudd. Binary-encounter-dipole model for electron-impact ionization // Phys. Rev.-1994.-Vol.A50, №5.-P.3954-3967.

[15] W. Hwanga, Y.-K. Kim, M.E. Rudd. New model for electron-impact ionization cross sections of molecules // J. Chem. Phys.-1996.-Vol.104, №8.-P.2956-2966.

[16] D.R. Penn. Electron mean-free-paths calculation using a model dielectric function // Phys. Rev., 1987, Vol. B35, №2, p.482-486.

[17] М.В. Макарець, С.Н. Сторчака. Новий метод розрахунку розподілу імплантованих іонів. 1. Алгоритм та семиінваріанти // Укр. Фіз. Журн.–2001.-Т.46, №4.-С.486-494.

[18] J.F. Ziegler, J.P. Biersack, U. Littmark. The Stopping and Ranges of Ions in Solids. Vol.1.– N.Y.: Pergamon Press, 1985.– 321 p.

[19] M. Gryzinski. Classical Theory of Atomic Collisions I Theory of Inelastic Collisions // Phys. Rev.-1965.-Vol. A138, №2. - P.336-358.

[20] I.D. Kaganovich, E. Startsev, R.C. Davidson. Scaling and formulary of cross sections for ion-atom impact ionization // New Journal of Physics – 2006. Vol. 8, №278. – P. 1-45.

[21] Н.В. Федоренко. Ионизация при столкнове-ниях ионов с атомами // УФН – 1959. – Т. 68, №3. – С.481-511.

[22] J. D. Garcia, E. Gerjuoy, and Jean E. Welker, Phys. Rev. 165,72 (1968).

[23] Атомные и молекулярные процессы / Под Ред. Д. Бейтс. М.: Мир, 1964.

[24] Briggs J.S., Taulbjerg K. // Structure and Collisions of Ions and Atoms in: Topics Curr. Phys. Vol. 5. Berlin: Springer,1978.

[25] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая Механика. – М.: Наука, 1989. – 593 с.

В работе выполнено моделирование методом Монте-Карло движения электронов в нутрии алюминиевой пленки толщиной несколько десятков микрометров, которая является чувствительным элементом стрип-детектора. Считалось, что вторичные электроны генерируются ионами меди Cu++ с энергией 5-25 КэВ. Для ионов учитывали упругие столкновения с атомами мишени, ионизацию атомных уровней и захват электронов, а для вторичных – упругие столкновения с атомами мишени, ионизацию атомных уровней, генерацию плазмонов и фононов. Получена зависимость накопленного заряда на сенсорах от энергии ионов, которая согласуется с экспериментальными данными.

This paper presents the Monte-Carlo simulation in aluminum film thickness of several tens of micrometers, which is a part of strip-detector sensor. It has been believed that the secondary electrons generated by copper ions Cu++ with energies of 5-25 KeV. For the ions has been taken into account elastic collisions with target atoms, atomic levels ionization and electron capture, and for the secondary electrons – elastic collisions with target atoms, atomic levels ionization, plasmons and phonons generation. The dependence of accumulated charge on the ion beam energy, which is matching with experimental data, has been obtained.