asyan.org
добавить свой файл
1
Наближене обчислення інтеграла за формулою Сімпсона
Спосіб наближеного обчислення визначеного інтегралу за формулою Сімпсона оснований на тому, що на відрізку [х; х+2h] дугу кривої y=f(x) замінюють дугою квадратної параболи, яка проходить через точки А(хf)),В(х+h; f+h)), С(х+2h; f+2h)) (див. мал.), тобто відбувається квадратне інтерполювання функції y=f(x). Тоді за наближене значення площі криволінійної трапеції приймають площу параболічної трапеції, з тією ж основою [х; х+2h] і обмежена зверху дугою параболи. Для того, щоб скласти рівняння цієї параболи, скористаємося першою інтерполяційною формулою Ньютона. Складемо многочлен другого степеня по вузлах інтерполяції: х, х+h, х= х+2h. Отримаємо, Р(х)=у+( х- х)+( х- х)( х- х)

Перепишемо цей вираз.

Так, як х+h,то ( х- х)( х- х)=( х- х)(( х- х)- h)= ( х- х)- ( х- х) h і Р(х)=у+( х- х)+(( х- х)- ( х- х) h).

Площа параболічної трапеції

S==(у+( х- х)+( х- х)-( х- х) h))dx=

=(yx++( -h)│ =

=2hy+2hy+y=(6y+6(y- y)+(y-2 y + y ))=(y+ 4y+y).

Якщо ввести позначення y - ордината початку відрізка, y=у ордината кінця відрізка і y - ордината середини відрізка, то отримана формула матиме вигляд S = ( у+4 у + у), (1)

де х = 2h (див. мал.).

Розділимо тепер відрізок [a;b] на п рівних частин, причому вважаємо, що п- число парне, тобто п=2т , тоді h= =.

Нехай х=a, х, … , х= bточки поділу. Визначимо ординати в цих точках y= f(x ), y= f(x),…, y= f(x).

З’єднаємо кінці кожних трьох сусідніх ординат дугами парабол, тобто замінимо на відрізках [х], [х; х], …, [х] криву дугами парабол. Застосуємо до кожного з цих відрізків формулу (1). Тоді

S=( y+ 4y+y)+(y+ 4y + y )+ … +(y + 4y + y ), (2)

або, звівши подібні члени, отримаємо

S=(( y+ y)+4(y+y+ … + y) + 2(y+ y+…+ y))=

=( y+4+2) ( п = 2т ),

S=( f(a) + f(b) + 4 (3)

Формула (3) називається параболічною формулою або формулою Сімпсона. Обчислення за формулою (3) реалізується наступним алгоритмом.

Алгоритм

Нехай відомі функція y=f(x) і відрізок інтегрування [a;b].

  1. Вибираємо число п=2т . Обчислюємо крок h = і точки поділу відрізка [a;b]: х= a, х+h, … , х= х+ п h= b

  2. Обчислюємо значення функції y=f(x) в точках поділу: y=f(x), y=f(x),…, y=f(x).

  3. Визначаємо суми: v = f( x ) + f(x)= f( a )+ f( b ),

v= f( x ) + f(x)+ … + f(x)+ … + f(x )= f(x) (значення функції в точках з непарними номерами )

v=f( x) + f(x)+ … + f(x)+ … + f(x )= f(x) (значення функції в точках з парними номерами ).

4. Обчислюємо S=( v +4 v +2 v)

Тоді S (дивитись формулу (3)).
Оцінка похибки формули

Формула Сімпсона (3) дає високу точність. Оцінка абсолютної похибки формули Сімпсона = =, (4)

де М=, f(x)-підінтегральна функція, [a;b]- відрізок інтегрування, h крок інтегрування.

Але користуватись формулою (4) незручно, так як необхідно оцінювати четверту похідну, яку не завжди легко знайти, існує більш простий метод.

З формули (4) видно, що має такий же малий порядок, як і h(або ), і при збільшенні кроку h вдвічі похибка збільшується в 16 разів: . Тому якщо S(h) ,S(2h)- наближенні значення визначеного інтеграла, обчисленні з кроками h, 2h, то , і при співпаданні в числах S(h), S(2h) k-десяткових знаків буде <10 або <0,7*10, тобто в S(h) буде правильних k+1 десяткових знаків.

На практиці для оцінки отриманого наближення S(h) можна повторити обчислення за формулою (3), але з кроком 2h. Число

= :15 (5)

приймають за оцінку похибки наближення S(h).

Зазначимо, що взагалі спочатку обчислюють S(2h) , а потім подвоюють п і обчислюють S(h) (це гарантує можливість застосування формули Сімпсона).

Завдання

Обчислити інтеграл за формулою Сімпсона при п = 8; оцінити похибку результату, скласти таблицю кінцевих різниць.

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№11

№12

№13

№14

№15

№16

№17

№18

№19

№20

№21

№22

№23

№24

№25

№26

№27

№28

№29

№30

№31

№32

№33

№34

№35

№36

Приклад виконання завдання

I =

За умовою п = 8, тому h = =(1,6-1,2)/8 = 0,05.

Формула за якою обчислюємо інтеграл має вигляд

I = + 4у+ 2у+ 4у+ 2у+4у+ 2у+ 4у+ у), де

у=у(х)=, х=1,2+і h ( і = 0, 1, …, 8)

Обчислення значень функцій, а також суму значень функції, які мають однакові коефіцієнти в формулі, робимо в таблиці 1.

Таблиця 1

i

x

Sin(2 x-2,1)

x+1

у08

у1,y3, y5,y7

у2,y4, y6

0

1,20

0,29552

2,44

0,1211







1

1,25

0,38942

2,5628




0,1520




2

1,30

0,4794

2,69







0,1784

3

1,35

0,5646

2,8225




0,2000




4

1,40

0,6442

2,96







0,2176

5

1,45

0,7174

3,1024




0,2312




6

1,50

0,7833

3,25







0,2410

7

1,55

0,8415

3,4025




0,2473




8

1,60

0,8912

3,56

0,2503


















0,3713

0,8305

0,6368


Звідси, I = (0,3714+4*0,8305+0,6368) = *4,9670≈0,88278.

Для оцінки точності отриманого результату складають таблицю кінцевих різниць функцій до різниць четвертого порядку.

Таблиця 2

i

у

у

у

у

у

0

0,1211

0,0309

-0,0047

0,0003

-0,0001

1

0,1520

0,0262

-0,0044

0,0002

0,0000

2

0,1782

0,0218

-0,0042

0,0002

0,0000

3

0,2000

0,0176

-0,0040

0,0002

0,0001

4

0,2176

0,0136

-0,0038

0,0003

-0,0001

5

0,2312

0,0098

-0,0035

0,0002




6

0,2410

0,0063

-0,0033







7

0,2473

0,0030










8

0,2503














Так, як тах = 0,0001, остаточний член формули

h<0,0000003.

Обчислення робились з чотирма значущими цифрами, тому величина остаточного члена на похибку не впливає. Похибку обчислень можна оцінити із співвідношення I = (b-a) ∆у≤0,4*0,0001<0,00005.

Отже отримані чотири десяткові знака правильні.