asyan.org
добавить свой файл
1 2 3
Розділ I

МАТРИЦІ ТА ЇХ ВИЗНАЧНИКИ

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

1.1. Визначники та їх властивості. Обчислення визначників
Визначником -го порядку або 蒟ウ浯炅黑 (箋ä àò. determino - 粨鈿璞) називається число , яке відповідає квадратній таблиці (відповідну матрицю, див. пункт 1.2, записують в круглих дужках):

(1.1)

і обчислюється згідно вказаному нижче правилу за числами , які називаються елементами визначника (всього їх ). Індекс вказує на номер рядка, а - номер стовпця квадратної таблиці (1.1), на перетині яких знаходиться елемент .

Головною діагоналлю визначника називається сукупність елементів

Мінором елемента квадратної матриці (1.1) називають визначник -го порядку , отриманий з визначника го порядку викреслюванням -го рядка та -го стовпця.

Алгебраїчне доповнення елемента визначається рівністю .

Для

. (1.2)

Узагальнимо правило обчислення визначника на більшу кількість елементів, тобто на визначники матриць більшого порядку. Нехай . Для обчислення таких визначників можна скористатись методом діагоналей.
Метод діагоналей (правило Саррюса): визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів головних діагоналей мінус сума добутків елементів побічних діагоналей. Наприклад, правило Саррюса обчислення визначника (буде рівносильним відомому правилу трикутника) має вигляд:

- - - + + +

У відповідності з цією схемою маємо:

(1.3)
Приклад 1.



Метод розкладання: Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення. Наприклад, для першого рядка маємо:

, (1.4)

де







Величини - алгебраїчні доповнення, а - мінори визначника , що відповідають його елементам . Ці мінори є визначниками другого порядку і отримані із визначника викресленням відповідних рядка і стовпця. Наприклад, щоб знайти мінор , слід у визначнику викреслити другий рядок і третій стовпчик.

Одержуємо: .

Для довільного маємо таку загальну формулу для розкладання за -м рядком:

, (1.5)

де , а мінори є визначниками -го порядку, які одержуються із викресленням першого рядка і -го стовпця.

Наприклад, для розкладання за 1-м рядком, маємо: = ;



=

.

Відповідна формула для розкладання за довільним -м стовпчиком має вигляд:

.

Зауваження 1. Метод розкладання 萵コ î跋鞣ウü 髜™籵 粨鈿璞湜êè 蒡箋ü濵胛 î蓐ó. メ瑕, 浯ð韭àä, 粨鈿璞湜ê 褞胛 î蓐ó 鈔鮏頸ñ… 蒡 髜褊 ⅶ 粨鈿璞湜³â 褪î胛 î蓐ó, 粨鈿璞湜ê ï’…胛 î蓐ó – 蒡 髜褊 ï’… 粨鈿璞湜³â 褞胛 î蓐ó, 碪î – 葢琅 粨鈿璞湜³â 褪î胛 î蓐ó ウ ò. ä. メ瑕韜 ⅲウá 髜褊 粨鈿璞湜³â 粨õ î蓐ウâ 胙黑ウ鈕èé, ó ウ濵莎 蒡ü昕 î瑣頌… ウ煇韲è å萵è 髜褊 粨鈿璞湜³â.

Зауваження 2. Якщо елементами визначника є деякі функції, то даний визначник – також функція.

Наприклад,







Можна показати, що для визначника будь-якого порядку мають місце наступні властивості:

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.

Доведення. Для випадку маємо:



Отже, Аналогічно розглядаються значення . 

2. Якщо переставити місцями два рядка (стовпці), то визначник змінить знак.

Доведення. Для маємо:

; .

Те ж саме матимемо для . 

3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.

Це твердження видається очевидним, якщо визначник розкласти саме за цим рядком (стовпчиком).

4. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю.

Доведення.

Переставимо ці рядки місцями. Тоді , але (переставлені рядки однакові). Отже, , звідки або . 

5. Спільний множник, який міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.

Доведення.

;

.  

6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю. Це забезпечують дві попередні властивості.

7. Якщо кожен елемент -го рядка ( -го стовпця) є сумою двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у одного з яких -й рядок ( -й стовпець) складається з перших доданків, а у другого – з других; інші елементи всіх трьох визначників однакові. Це можна довести розкладанням визначника за відповідним рядком або стовпчиком, розділивши далі суму на дві.

8. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число [18].

Доведення.

;



Для n>2 доведення можна провести на основі попередньої властивості. 

Розглянемо основні методи обчислення визначників.

1. Метод ефективного зниження порядку. Використовуючи основні властивості визначників, обчислення завжди можна звести до обчислення одного визначника -го порядку, зробивши в будь-якому рядку всі елементи, крім одного, рівними нулю. Покажемо це на прикладі.

Приклад 2. Користуючись властивостями 1-9 визначника, обчислити визначник четвертого порядку



Розвязання. За властивістю 5 визначників із першого рядка винесемо множник 10, а потім будемо послідовно множити отриманий рядок на 3, 1, 2 і додавати відповідно до другого, третього і четвертого рядків. Тоді, згідно з властивістю 8, маємо:



Отриманий визначник можна розкласти за елементами другого стовпця. Тоді



Отримали визначник третього порядку, який можна обчислити за правилом Саррюса або подібним прийомом звести до обчислення одного визначника другого порядку. Дійсно, віднявши із другого і третього рядків даного визначника перший рядок, отримаємо



2. Зведення визначника до трикутного вигляду. Визначник, у якого всі елементи, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, рівні нулю, називається визначником трикутного виду. Очевидно, що в цьому випадку визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі. Зведення будь-якого визначника до трикутного виду завжди можливе.

Приклад 3. Обчислити визначник

.

Розвязання. Будемо робити нулі нижче головної діагоналі. Виконаємо наступні дії. П’ятий стовпчик визначника додамо до першого, цей же стовпчик, помножений на 3, - з другим, на 2 – з третім, на 8 – з четвертим стовпчиком. Таким чином в п’ятому рядку обнуляються всі елементи, крім останнього. Застосовуючи властивості визначників, отримаємо визначник трикутного виду, який дорівнює заданому:



Зведення визначників до трикутного вигляду надалі буде використовуватися при розв’язанні систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса (його називають також методом Гаусса).
Завдання для перевірки знань

  1. Розкладаючи визначник по рядку або стовпчику, складених з букв, обчислити:

  2. б)


Відповідь: а) 8а + 15b + 12c 19d ; б) 2a 8b + c 5d .

2. Обчислити визначники:


  • б) в)

Відповідь: а) 90, б) 27, в) 52.


1.2. Матриці і операції над ними
マîóà 硴頽…, à蒟浯 ウç 褄褌褊â , ( , ) 粽™ 蓐ウâ  魵öウâ, 浯鉅籵コ à頽 ウ 鈞èコ ó 粨肭…莎

(1.6)

ナåå炅è à頽ウ 炫å™ 2 ウ淸裲è . マ褞é ウ淸裲ñ 褄褌褊 鰀浯コ 濵åð 蓐à, à 蓿韜 - 濵åð 魵ö…, 浯 å昕 …èõ 鈿瑾鮏頸ñ… é 褄褌褊ò â à頽ウ.

Елементи з однаковими індексами утворюють головну діагональ матриці.

Матриці позначають прописними літерами латинського алфавіту: А, В, С, Якщо у матриці 蓐ウâ ウ 魵öウâ,  鈞 鰀浯澵…ì 粽浯 àコ 銕ウウü . フ瑣 浯鉅籵コ 魵, …ùî ソソ 褄褌褊 - à; 渼íí, …ùî - 渼ソ; òⅱ濵™, …ùî - 粢òⅱè, ウ ò. ä. フ瑣 浯鉅籵™ 粹韲è, …ùî 糂ウ ソõ 箋蔡魵ウ蓖ウ 褄褌褊 粹ウ, 碪î = . ホå, 粹韲è î跿 碯 üè à頽ウ 鮏濵ソ 銕ウⅲ. フ瑣, â …îソ î 蓐ウâ 蒡粹™コ ó 魵öウâ, 浯鉅籵コ â琅. フ瑣, ó …îソ 糂î胛 鮏竟 蒡ê, 浯鉅籵コ à-蓐黑 (î粢òⅱ黑), à à頽…, ó …îソ 糂î胛 鮏竟 魵å – à-ö (î炅粢òⅱ黑). ッõ îæ 浯鉅籵™ òⅱ-蓐黑òⅱ-ö 箋蔡魵ウ蓖î. Діагональною називається матриця, у якої всі елементи, що не належать головній діагоналі, рівні нулю. Наприклад,

- діагональна матриця третього порядку.

Одинична матриця – це діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі рівні 1. Позначається одинична матриця літерою E або I.

- одинична матриця третього порядку.

Якщо всі елементи матриці, що знаходяться нижче або вище головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Матрицю називають транспонованою до , якщо . Якщо матриця А розміром , то матриця має розміри . Наприклад,

, .

Якщо в має місце рівність , то матриця називається симетричною.

Якщо , то називається антисиметричною. В антисиметричної матриці головна діагональ складається з нулів. Наприклад,

- симетрична матриця третього порядку.

トî î跫錞 â琅錞 à頽ウ 銕ウⅲ î跫à àè 粨鈿璞湜ê . ノ魲î 髜™™ 鈞 ð珞齏瑟è, …³ 鈬íウ â ï.1.1. ヌ珸浯î,  ð…îóà ( ) à頽… 粨鈿璞湜à 淲 àコ.

Розглянемо основні дії над матрицями.

1. ト鮏珞瑙 箋蓖ウà澵… àü. ヨ… 莎… 粨鈿璞褊à üè 蓁… à頽ü 鮏濵ソ 銕ウⅲ. ム (鈿頽) à頽ü ,  î鈿璞犲 (-), 浯鉅籵コ à頽… ム î胛 æ 銕ウ, 褄褌褊 …îソ , 蒟 , - 箋蔡魵ウ蓖î 褄褌褊 à頽ü . ヘ瑜ë琅, 淲é

.

メ鮏ウ

, .

2. フ濵趺澵… à頽ウ î. ト髜ê黑 à頽ウ 浯 î (î鈿璞犲 ) 浯鉅籵コ à頽… コソ æ 銕ウⅲ, 褄褌褊 …îソ , 蒟 - 褄褌褊 à頽ウ , 碪î ðè í鮻褊昕 à頽ウ 浯 î (à 浯 à頽™) îウ硼î 糂ウ 褄褌褊 à頽ウ îí鮻頸è 浯  î. ヘ瑜ë琅, 淲é

.

メ鮏ウ

.

3. フ濵趺澵… àü. トウ… í鮻褊 葢ⅶ à頽ü 粐鮏頸ñ… üè 蓁… 胛蓙褊頷 à頽ü. フ瑣 浯鉅籵コ 胛蓙褊 ç à , …ùî ³ü³ü 魵öウâ å錞 à頽ウ 蒡粹™コ ³üîウ 蓐ウâ 蓿錞 à頽ウ . ヌ 胛蓙褊ⅲ à頽ウ ç , 粡璢琿ウ à跿, 淲 粨ë鞣犲 胛蓙褊ウü ç . ハ籵蓿瑣昕 à頽ウ 鮏濵胛 î蓐ó 粡犲íî 胛蓙褊ウ.

ト髜îì à頽ウ à頽™ 浯鉅籵コ à à頽…, ó …îソ 褄褌褊ò 蒡粹™コ ³ 蒡碯ウâ 褄褌褊â -胛 蓐à à頽ウ 浯 箋蔡魵ウ蓖ウ 褄褌褊 -胛 魵ö… à頽ウ : = ; , ; . イç ウ瑙 蒡碯ó 淲 粨ë鞣犲 ウ瑙 蒡碯ó . モ 粨à蓐ó 鴃胛 ウ瑙, …ê ð珞齏î . Якщо , то матриці і називаються перестановочними (або комутуючими). Відомо, що завжди .

Приклад 4. Знайти і , якщо:
, .

Розвязання. Маємо:

,

де

В результаті .

Далі знаходимо

,

де

Маємо:

.

Отже, .

Приклад 5. Задано матриці: . Знайти і .

Розвязання. Маємо:

,

.

Отже, .

Приклад 6. Знайти , якщо:



Розвязання. Маємо:



,

тобто .


следующая страница >>