asyan.org
добавить свой файл
  1 ... 2 3 4 5
Тема 17.2.2. Формула Рімана-Мелліна

Загальний спосіб визначення оригіналу по зображенню дає зворотне перетворення Лапласа (формула звертання Рімана-Мелліна), що має вигляд

(17.2.5)

де інтеграл береться уздовж будь-якої прямої

За певних умов інтеграл (5.5) обчислюється по формулі



Зауваження. На практиці відшукання функції-оригіналу звичайно проводять за наступним планом: спочатку випливає по таблиці оригіналів і зображень спробувати відшукати для заданого зображення відповідний йому оригінал; другий шлях полягає в тому, що функцію намагаються представити у вигляді суми найпростіших раціональних дробів, а потім, користаючись властивістю лінійності, знайти оригінал; нарешті, використовувати теореми розкладання, властивість множення зображень, формулу звертання і т.д.

Приклад 17.2.2. Знайти оригінал по його зображенню

○ Найпростіше надійти так:



(використовували властивість лінійності а формули (17.1.5): і (17.1.6)).

Якщо ж використовувати теорему 17.2.1 розкладання, то будемо мати: корені знаменника і, відповідно до формули (17.1.1),







Приклад 17.2.3 Знайти функцію оригінал, якщо її зображення задане як

○ Тут - простий корінь знаменника, - 3-кратний корінь (m=3). Використовуючи формули (17.2.1) і (17.2.3), маємо:



тобто

Приведемо інший спосіб перебування . Розіб'ємо дріб . Розіб'ємо дріб на суму найпростіших дробів: Отже

Приведемо третій спосіб перебування . Представимо як добуток і так як і , то користаючись властивістю множення зображень, маємо:







Тема 17.3 Операційний метод розв’язування лінійних диференціальних рівнянь і їх систем

Нехай потрібно знайти правильне розв'язування лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

(17.3.1)
задовольняюче початковим умовам

де - задані числа.

Будемо вважати, що шукана функція разом з її розглянутими похідними і функція є оригіналами.

Нехай і Користаючись властивостями диференціювання оригіналу і лінійності, перейдемо в рівнянні (17.3.1) від оригіналів до зображень:





Отримане рівняння називають операторним (чи рівнянням у зображеннях). Розв'яжемо його відносно :



тобто де і - алгебраїчні багаточлени від степеня і відповідно.

З останнього рівняння знаходимо

(17.3.2)

Отриману рівність називають операторним розв’язуванням диференціального рівняння (17.3.1). Воно має більш простий вигляд, якщо всі початкові умови дорівнюють нулю, тобто В цьому випадку

Знаходячи оригінал , що відповідає знайденому зображенню (17.3.2), отримаємо, у силу теореми одиничності, частка Розв'язування диференціального рівняння (17.3.1).

Зауваження. Отримане Розв'язування у багатьох випадках виявляється справедливим при всіх значеннях t (а не тільки при ).

Приклад 17.3.1. Вирішити операційним методом диференціальне рівняння при умовах

○ Нехай . Тоді



і .

Підставляючи ці вираження в диференціальне рівняння, отримаємо операторне рівняння: звідси

Знаходимо . Можна розбити дріб на суму але так як корені знаменника прості, то зручно скористатися другою теоремою розкладання

(формула (17.2.1)), у якій





Отримаємо:



Приклад 17.3.2. Знайти розв'язок рівняння



Рис. 23




за умови

○ Графік даної функції має вигляд, зображений на рис. 23. За допомогою одиничної функції праву частину даного диференціального рівняння можна записати одним аналітичним вираженням:









Таким чином, маємо

Операторне рівняння, при нульових початкових умовах має вигляд

Звідси



Taк як

,

тоді по теоремі запізнювання знаходимо:





Аналогічно застосовується операційний метод для Розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Покажемо це на конкретному прикладі.

Приклад 17.3.3. Розв’язати систему диференціальних рівнянь



○ Нехай



Знаходимо, що



Система операторних рівнянь приймає вигляд

Вирішуючи цю систему алгебраїчних рівнянь, знаходимо:







Переходячи від зображень до оригіналів, отримаємо шукані Розв'язування: ,

,

.

Відповідь:

За допомогою операційного числення можна також знаходити Розв'язування лінійних диференціальних рівнянь з перемінними коефіцієнтами, рівнянь у частинних похідних, рівнянь у кінцевих різницях (різницевих рівнянь); робити підсумовування рядів; обчислювати інтеграли. При цьому Розв'язування цих і інших задач значно спрощується.






<< предыдущая страница