asyan.org
добавить свой файл
  1 ... 2 3 4 5

  • Інтегрування оригіналу


    Якщо те , тобто інтегруванню оригіналу від 0 до відповідає ділення його зображення на . Функція є оригіналом (можна перевірити). Нехай . Тоді по властивості диференціювання оригіналу маємо

    (так як ). А тому що



    те Звідси тобто .

    Інтегрування зображення

    Якщо і інтеграл сходиться, то тобто інтегруванню зображення від до відповідає розподіл його оригіналу на .

    Використовуючи формулу (17.1.1) і змінюючи порядок інтегрування (o6підстава законності цієї операції упускаємо), отримаємо



    .

    Приклад 17.1.11. Знайти зображення функції ; знайти зображення інтегрального синуса

    ○ Так як , то , тобто . Застосовуючи властивість інтегрування оригіналу, отримаємо .

    Множення зображень

    Якщо , то . (17.1.17)

    Можна показати , що функція є оригіналом.

    Використовуючи перетворення Лапласа (17.1.1), можна



    Рис. 21

    Область D інтегрування отриманого дворазового інтеграла визначається умовами (див. рис. 21).Змінюючи порядок інтегрування і думаючи одержимо





    Інтеграл у правій частині формули (17.1.17) називається згорткою функції й і позначається символом , тобто

    Можна переконатися (поклавши ), що згортання має властивість перестановки, тобто

    Отже, множення оригіналів рівносильне їхньому згортанню, тобто



    Приклад 17.1.12. Знайти оригінал функцій

    і

    ○ Так як , і ,



    тобто

    Аналогічно отримаємо

    Наслідок 17.1.2. Якщо і також є оригіналом, то (17.1.18)

    □ Запишемо добуток у вигляді



    чи

    Перший доданок у правій частині є добуток зображень, що відповідають оригіналам і Тому на підставі властивості множення зображень і лінійності можна записати чи

    Формула (17.1.18) називається формулою Дюамеля.

    На підставі властивості перестановки згортки формулу Дюамеля можна записати у вигляді

    Формулу Дюамеля можна застосовувати для визначення оригіналів по відомих зображеннях.

    Приклад 17.1.13. Знайти оригінал, що відповідає зображенню

    ○ Так як і , ,

    де на підставі формули Дюамеля (17.1.18) маємо



    Рис. 22



    Множення оригіналів

    Якщо і , то

    де шлях інтегрування — вертикальна пряма (див. рис. 22) (приймемо без доведення).

    Резюме

    Розглянуті властивості перетворення Лапласа являють собою основні правила (апарат) операційного числення. Для зручності користування перелічимо ці властивості.

    1. Лінійність:

    2. Подібність:

    3. Зсув: .

    4. Запізнювання:

    5. Диференціювання оригіналу:







    …………………………………………...

    1. Диференціювання зображення





    ………………………………………......

    1. Інтегрування оригіналу: .

    2. Інтегрування зображення: .

    3. Множення зображень:

    4. Множення оригіналів:

    17.1.3. Таблиця оригіналів і зображень

    Складемо коротку таблицю, що установлює відповідність між деякими оригіналами (часто зустрічаються на практиці) і їх зображеннями. Досить повна таблиця оригіналів і зображень, що дозволяє по заданому оригіналі знаходити зображення і навпаки; є зокрема, у книзі «Довідник по операційному численню» (автори В.А.Диткин і П.И.Кузнєцов).

    Таблиця оригіналів і зображень

    Оригінал


    Зображення

























































    (n - ціле)



























































    Тема 17.2. Обернене перетворення Лапласа

    17.2.1. Теореми розкладу

    Розглянемо двох теорем, називані Теоремами розкладання, що дозволяють по заданому зображенню знаходити відповідний йому оригінал .

    Теорема 17.2.1. Якщо функція в околі точки може бути представлена у вигляді ряду Лорана



    де функція



    є оригіналом, що має зображення , тобто



    Приймемо цю теорему без доведення.


    Приклад 17.2.1. Знайти оригінал , якщо



    ○ Маємо



    Отже, на підставі теореми 17.1.1. .

    Запишемо розкладання функції за Лораном в околиці точки :



    де , тобто . Отже, тобто .●

    Теорема 17.2.2 Якщо - правильний раціональний дріб, знаменник якого має лише прості корені (нулі) то функція

    (17.2.1)

    є оригіналом, що має зображення .

    Відзначимо, що дріб повинний бути правильний (степінь багаточлена нижче ступеня багаточлена ); у противному випадку не виконується необхідна ознака існування зображення (п. 17.1.1), тобто може бути зображенням.

    □ Розкладемо правильний раціональний дріб найпростіші:



    де — невизначені коефіцієнти. Для визначення коефіцієнта цього розкладання помножимо обох частин цієї рівності почленно на :



    Переходячи в цій рівності до межі при , отримаємо



    Отже, Аналогічним шляхом (множачи обидві частини рівності (17.1.1) на ) знайдемо

    Підставляючи знайдені значення в рівність (17.1.1), одержимо



    Так як по формулі (4.3) , , … ,

    То на підставі властивості лінійності маємо

    Зауваження. Легко помітити, що коефіцієнти визначаються як відрахування комплексної функції у простих полюсах (формула (17.1.4)):

    Можна показати, що якщо - правильний дріб, але корені (нулі) знаменника мають кратності відповідно, то в цьому випадку оригінал зображення визначається формулою

    (17.2.3)

    Теорему 5.2 можна сформулювати в такий спосіб:

    Теорема 17.2.3. Якщо зображення є дрібно-раціональною функцією від і - прості чи кратні полюси цієї функції, то оригінал відповідний зображенню , визначається формулою

    (17.2.4)




  • << предыдущая страница   следующая страница >>