asyan.org
добавить свой файл
1
Завдання

ІІ - го етапу(шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики .

6 клас

  1. Як можна відміряти 9 хвилин за допомогою пісочних годинників на 5 хвилин та на 7 хвилин?

  2. Сума 2008 цілих чисел непарна. Довести, що добуток цих чисел парне число.

  3. 7 листів паперу розрізали на 5 частин, потім деякі листи із загальної купи знову розрізали на п’ять частин і т.д. Коли підрахували, то вийшло 2008 шматків паперу. Чи правильно зроблено підрахунок?

  4. Голодні Малюк і Карлсон з’їли торт і стали ситими. Відомо, що голодний Карлсон легший від ситого Малюка, а ситий Карлсон важить стільки ж, скільки два голодних Малюка. Що важить більше: торт чи голодний Малюк? Чому?

Завдання

ІІ-го етапу (шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики .

7 клас

  1. В двох бочках було води порівну. Кількість води в першій бочці спочатку зменшили на 10%, а потім збільшили на 10%. Кількість води в другій бочці спочатку збільшили на 10%, а потім зменшили на 10%. В якій бочці стало більше води?

  2. Чи існує тризначне число, яке дорівнює добуткові своїх цифр?

  3. Голодні Малюк і Карлсон з’їли торт і стали ситими. Відомо ,що голодний Карлсон легший від ситого Малюка, а ситий Карлсон важить стільки ж, скільки два голодних Малюка. Що важить більше: торт чи голодний Малюк? Чому?

  4. Чи може жучок обійти всі білі квадратики шахівниці, жодного разу не ступивши на чорне поле і жодного разу не пройшовши одне й теж саме біле поле двічі?

  5. Як можна відміряти 9 хвилин за допомогою пісочних годинників на 5 хвилин та на 7 хвилин?

Завдання ІІ-го етапу(шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики.

8 клас

  1. Довести нерівність .

  2. В двох колах, які дотикаються зовнішньо одне до одного, проведено взаємно паралельні діаметри. Довести, що пряма, яка сполучає протилежні кінці діаметрів, пройде через точку дотику кіл.

  3. Семеро піратів хочуть розділити скарб, який складається з 55 золотих злитків вагою 306г, 307г, … , 359г, 360г відповідно. Кожен з піратів буде задоволеним, якщо йому дістанеться принаймні 2,5 кг золота (і ні на грам менше). Чи можуть пірати розділити скарб, не розпилюючи злитки так, щоб кожен був задоволений?

  4. Нехай m і n – такі цілі числа, що ділиться на 11. Доведіть, що ділиться на 11.

  5. Число записане у вигляді скінченого десяткового дробу. Яка цифра у нього стоїть на четвертому з кінця місці?

Завдання

ІІ-го етапу (шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики

9 клас

  1. Розв’язати рівняння .

  2. Два квадрата розташовані так, як показано на малюнку. Нехай точка М – середина відрізка АВ, а точки О1 і О2 – центри квадратів. Доведіть, що відрізки МО1 і МО2 рівні і знайдіть кут між ними.

  3. Розв’язати нерівність: .

  4. В лісі росли сосни, кедри та ялинки, причому на всіх деревах було порівну шишок. Подув легкий вітерець, і декілька шишок упало на землю. виявилось , що з кожної сосни упало рівно11% її шишок, з кожного кедра – рівно 54%, а з кожної ялинки – рівно 97%. При цьому з усіх дерев разом упало рівно 30% усіх шишок. Доведіть, що кількість дерев у лісі ділиться на 43.

  5. Дано прямокутну дошку розміром 3 х 7 клітинок. Чи може шаховий кінь, починаючи з якого-небудь кутового поля цієї дошки обійти всі клітинки за шаховими правилами, побувавши в кожній клітинці тільки один раз і останнім ходом стати знову в кутову клітинку (можливо початкову)?

Завдання

ІІ-го етапу (шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики

10 клас

  1. Розв’язати рівняння: .

  2. На стороні квадрата зовні побудовано прямокутний трикутник, гіпотенуза якого збігається зі стороною квадрата. Довести, що бісектриса прямого кута цього трикутника поділяє площу квадрата навпіл.

  3. Знайдіть всі функції визначені на множені дійсних чисел, для яких при всіх дійсних х, і у виконується рівність .

  4. Знайдіть всі пари (х,у) цілих чисел х и у, які задовольняють системі нерівностей:

  5. Натуральне число поділили з остачею на 10, 35 і 42. Виявилось, що сума остач від ділення на 35 і 42 дорівнює остачі від ділення на 10. Доведіть, що число – складне.

Завдання

ІІ-го етапу (шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики.

11 клас

  1. Розв’язати рівняння: .

  2. Довести, що центри чотирьох кіл, кожне з яких дотикається до однієї зі сторін довільного чотирикутника і продовження двох суміжних з нею сторін, належать одному колу.

  3. Знайдіть всі функції визначені на множені дійсних чисел, для яких при всіх дійсних х, і у виконується рівність .

  4. Чи існують цілі числа m і n такі, що .

  5. В основі піраміди лежить правильний многокутник. В кожній вершині піраміди розташовані по одному цілі числа, причому сума чисел, які стоять у вершинах довільної грані, дорівнює 2007, а сума чисел в вершинах основи дорівнює 2008. При якому найменшому числі вершин при основі піраміди це можливо? Знайдіть відповідні числа у вершинах.