asyan.org
добавить свой файл
1
11.4.  Поняття неперового числа е. В математицi, теорiї ймовiрностей, статистицi, прикладнiй економiцi має широке застосування число е  основа натуральних логарифмiв :

е  2,718 281 828 459 045.

Мнемонiчне 1 правило : “ 2,7 + двiчi рiк народження Льва Толстого 1828 + кути рiвнобедреного прямокутного трикутника ”.

Означення. Числом е називається границя послiдовностi

n = (1 + 1 / n :

e := (1 + 1 / n .


Обчислимо n = (1 + 1 / n  при різних значеннях nТабл. 11.1 ).
Табл.  11.1.  Наближення числа e.




(1 + 1 / n 

1

2,0

2

2,25

4

2,4414

10

2,59374

100

2,704814

1000

2,7169239

10 000

2,7181459

100 000

2,71826824

10 000 000

2,71821693


Із цієї таблиці видно, що (1 +1 / n зростає, менше 3. Доведемо, що границя цієї послiдовності існує. Розглянемо дві послідовності додатних чисел

n = (1 +1 / n , n = (1 +1 / n ) n + 1 , n  N .

Очевидно, що n < n : n  = n (1 +1 / )  >  n . Доведемо, що { n } строго зростає, { n } спадає. Розглянемо відношення

= : = = =

= .

За нерівністю Я. Бернуллі (пр. 3.1)

(1 + n  1 +  xx > -1, n  N ,

одержуємо

>   = 1 .

Тому n > n - 1  { n } .

Розглянемо

= : =   .

Цей дріб можна записати

 =    .

Застосуємо нерівність Я. Бернуллі

>     =    = 1 .

Довели, що n - 1 > n  { n }  .

Таким чином,

2 = 1 < 2 <  < n < n <  < 2 < 1 = 4 .

За теоремою Вейєрштрасса існує границя цих послідовностей

n = n = n   = .

Крім того, виконується нерівність

n = < e < n = .

Прологарифмуємо цю нерівність

  < 1 < (  + 1 )  ,

звідки

< <  .

Одержали важливу оцінку функції ln (1 +  ) при малих аргументах x   =  1 / . Ш. Ерміт 2 ( 1873 ) довів, що e  число трансцендентне. Позначення цього числа ввів Л. Ейлер ( 1736 ) . Доведення ірраціональності цього числа можна знайти, наприклад, в І.І. Ляшко, В.Ф. Ємельянов, О.К. Боярчук. Математичний аналіз. ч. I.  К.:  Вища школа, 1992. с. 57.


1Грец.   запам`ятовування.

2Ерміт Шарль ( Hermite Ch., 1822-1901)  франц. математик. Основні роботи по теорії функцій, аналізу, алгебрі і теорії чисел .