asyan.org
добавить свой файл
1 2 3 4

Глава 5

Електромагнітна індукція

5.1. Закон електромагнітної індукції Фарадея

Формулювання закону електромагнітної індукції


Закон електромагнітної індукції експериментально відкрив Фарадей, опублікувавши результати своїх досліджень у 1831 р. Відкриття Ерстеда, роботи Ампера та інших учених у галузі магнетизму засвідчили існування глибокого зв’язку електричних та магнітних явищ. Однак, цей зв’язок спочатку виглядав одностороннім. За висловом Фарадея явище, відкрите Ерстедом, означало отримання "магнетизму з електрики". Будучи переконаним в існуванні взаємозв’язку явищ у природі, Фарадей цілком свідомо розпочав пошуки зворотного явища, тобто отримання "електрики з магнетизму", або явища електромагнітної індукції. Довший час Фарадею не вдавалося підтвердити власну гіпотезу, оскільки він експериментував із постійними магнітними полями та магнітними потоками. Перші досліди Фарадей провадив з двома котушками, намотаними одна поверх іншої на циліндричний дерев’яний стержень. До одної котушки була приєднана батарея гальванічних елементів, до іншої – гальванометр, який складався з магнітної стрілки та двох розташованих обабіч неї котушок, по яких мав проходити струм, індукований магнітним полем. Фарадей з розчаруванням з’ясував, що сталий струм у котушці не викликає відхилення магнітної стрілки. Проте в одному з дослідів він зауважив ледь помітне відхилення стрілки по вмиканні батареї та відхилення її у протилежний бік по вимиканні. Зауваживши це, Фарадей удосконалив свою апаратуру. Він сконструював більш чутливий та малоінерційний гальванометр, а обидва провідники розмістив на окремих дошках у вигляді багатократно повтореної букви W. Як і раніше, до одного провідника приєднувалася батарея гальванічних елементів, до іншого – гальванометр. При зближенні провідників стрілка гальванометра стійко відхилялася, вказуючи на існування струму в іншому провіднику, причому протилежного до струму в першому провіднику. Якщо провідники віддалялися один від іншого, то струми мали однаковий напрямок. Ці та інші експерименти дозволили Фарадею дійти висновку, що сила струму в контурі пропорційна швидкості зміни магнітного потоку.

Згодом з’ясувалося, що сила індукованого струму залежить ще й від опору провідника, а от індукована ЕРС визначається виключно швидкістю зміни магнітного потоку. З використанням сучасної математичної символіки закон електромагнітної індукції Фарадея записується так:

, (СГС) (5.1.1)

(СІ) (5.1.1’)

Правило Ленца


З
’ясуємо причину існування знаку "–" у формулі (5.1.1). На рис. 5.1.1 зображено провідний контур довільної форми, на який накладено деяку математичну поверхню. Контур пронизує магнітне поле. Напрямок обходу контуру прийнято узгоджувати з напрямком вектора магнітного поля за правилом правого гвинта, тобто для розміщення, зображеного на рисунку, . Нехай магнітне поле зростає в часі . Тоді знак "–" у (5.1.1) указує, що індукована ЕРС має від’ємний знак, оскільки викликає струм у напрямку, протилежному напрямку обходу контуру, рис. 5.1.1. Якщо , то , і напрямок індукованого струму збігається з напрямком обходу контуру.

Рис. 5.1.1. До правила Ленца.

Знак "–" у (5.1.1) є математичним еквівалентом правила Ленца, за яким індукований струм має такий напрямок, аби власним магнітним полем компенсувати причину, що викликає цей струм. Правило Ленца узгоджується із законом збереження енергії. Дійсно, якщо припустити, що індукований струм має напрямок, протилежний тому, що встановлюється цим правилом, то магнітне поле індукованого струму посилило б магнітний потік крізь контур, тобто збільшилась би швидкість зміни магнітного потоку. Це, у свою чергу, спричинить збільшення індукованого струму, тобто ще більше зростання магнітного потоку. В результаті маємо лавиноподібне зростання магнітного поля, тобто й індукованого струму, що явно суперечить закону збереження енергії.

З (5.1.1) видно, що існують три елементарних механізми зміни магнітного потоку з часом: зміна площі контуру, зміна кута між вектором В і нормаллю до поверхні та випадок, коли нерухомий контур знаходиться у змінному магнітному полі. Загальний випадок може включати різні комбінації цих елементарних механізмів. Розглянемо кожний з цих простих випадків окремо.

Виникнення ЕРС внаслідок зміни площі контуру


Цей варіант зображено на рис. 5.1.2. Дві паралельні металеві рейки, розміщені на відстані l, знаходяться в однорідному магнітному полі, перпендикулярному до площини рисунка. Орієнтація В задає напрямок обходу контуру проти ходу стрілки годинника. Уздовж рейок із швидкістю v переміщують металевий провідник. На кожний електрон провідника діє магнітна сила . Вільні електрони зміщуються до верхньої рейки, тоді як на нижній рейці виникає позитивний заряд. Розділені заряди створюють макроскопічне електричне поле і на електрони діє ще електрична сила , причому у напрямку, протилежному до напрямку дії магнітної сили. Розділення зарядів триватиме доти, поки електрична та магнітна сили не врівноважаться. Для цього с
тану отримуємо умову

. (СГС) (5.1.2)

Рис. 5.1.2. Електромагнітна індукція як результат зміни площі контуру.

Якщо ключ К замкнути, то у колі протікатиме струм, напрямок якого, як видно з рисунка, протилежний до напрямку обходу контуру. З аналізу випливає, що схема на рис. 5.1.2 має всі ознаки джерела електричного струму, причому сторонньою електрорушійною силою є магнітна сила Лоренца. ЕРС цього джерела знайдемо, обчисливши різницю потенціалів для розімкненого кола

.

Врахувавши формулу (5.1.2), маємо

,

тобто отримуємо вираз (5.1.1), який описує закон електромагнітної індукції в СГС.

О
бертання провідної рамки в магнітному полі


Рис. 5.1.3. ЕРС індукції при обертанні рамки в магнітному полі.

Схему цього досліду подано на рис. 5.1.3. Прямокутну рамку із провідника, вміщену в однорідне магнітне поле, обертають навколо горизонтальної осі з кутовою швидкістю . Довжина горизонтальної сторони а, іншої b. Під дією магнітної сили електрони переміщуються вздовж горизонтальних сторін рамки у протилежних напрямках

,

де кут визначає початкове положення рамки, а  – лінійну швидкість обертання рамки. На кільцях, до яких приєднуються виводи рамки, накопичуються заряди протилежних знаків. Знак та величина кожного з них залежать од положення та напрямку руху рамки відносно магнітного поля.

Електрорушійну силу знайдемо, обчисливши інтеграл

.

Множник 2 враховує внески від обох горизонтальних сторін рамки. Маємо

. (СГС)

Таким чином, і в цьому випадку ЕРС індукції є наслідком дії сили Лоренца й описується формулою (5.1.1).

Провідний контур у змінному магнітному полі; вихрове електричне поле


Н
а рис. 5.1.4.а котушка, до виводів якої підключено гальванометр, рухається в неоднорідному магнітному полі, створеному іншою котушкою з постійним струмом. Виникнення ЕРС тут теж пояснюється впливом магнітної сили на електрони рухомої котушки. Необхідною умовою виникнення ЕРС тут є неоднорідність магнітного поля, яка забезпечує змінний у часі магнітний потік крізь рухому котушку.

Рис. 5.1.4. Дослідження ЕРС індукції за допомогою котушок: а) із рухомою реєстраційною котушкою; б) реєстраційна котушка нерухома.

Схема на рис. 5.1.4.б відрізняється від попередньої тим, що переміщується котушка, яка є джерелом магнітного поля, тоді як реєстраційна котушка нерухома. Тут на електрони вже не діє магнітна сила , хоча експеримент засвідчує виникнення електрорушійної сили, величина якої теж описується формулою (5.1.1). Більше того, електричний струм індукується навіть тоді, коли обидві котушки нерухомі, а зміна з часом магнітного потоку досягається тим, що в першій котушці створено змінний струм.

З цих дослідів випливає, що внаслідок зміни з часом магнітного потоку в контурі завжди виникає ЕРС індукції, яка описується формулою (5.1.1) незалежно від способу, яким досягається ця зміна. Однак, незважаючи на універсальність формули (5.1.1), механізми виникнення ЕРС індукції в останніх двох варіантах дослідів різні. В досліді з рухомою реєстраційною котушкою ЕРС виникає внаслідок дії магнітної сили Лоренца на рухомі електрони. Цей дослід, як і розглянуті раніше, не є проявом нового фізичного закону, оскільки закон повинен установлювати нові зв’язки між фізичними величинами, тобто такі, що не випливають з існуючої теорії. Новим результатом є виникнення ЕРС індукції у досліді з нерухомою реєстраційною котушкою, оскільки ЕРС виникає вже не за рахунок дії магнітних сил.

Системи координат, пов’язані з кожною котушкою, інерціальні, тому події, що там відбуваються, підпорядковуються принципові відносності. За цим фундаментальним принципом, закони фізики інваріантні відносно інерціальних систем відліку. Це означає, що математична формула, яка описує фізичний закон, повинна мати однаковий вигляд в обох дослідах (див. також п. 4.12). Схеми, зображені на рис. 5.1.4.а, б, відрізняються лише вибором системи відліку. В першому випадку вона зв’язана з котушкою – джерелом магнітного поля, в другому – з вимірювальною котушкою. Принцип відносності внаслідок своєї універсальності не в змозі пояснити природу сил, що викликають струм у нерухомій котушці. Можна лише стверджувати, що ця сила повинна мати електромагнітну природу. Оскільки вона не магнітна, то залишається припустити, що вона має електричну природу. Отже, ми приходимо до висновку, який свого часу зробив Максвелл: у кожній точці простору, де існує змінне в часі магнітне поле, існує також електричне поле. Спираючись на цю гіпотезу, можна стверджувати, що для виникнення явища електромагнітної індукції присутність контуру із провідника необов’язкова. Контур є лише датчиком, який виявляє існування індукованого електричного поля. Це поле не лише створює електричний струм у замкненому провіднику, а й може викликати інші електричні явища, наприклад, поляризацію діелектрика.

Установивши електричну природу сторонніх сил, що діють на електрони в нерухомому провіднику, можна записати ЕРС індукції як

,

де  – напруженість індукованого електричного поля. Тепер закон електромагнітної індукції набуває вигляду

; (СГС) (5.1.3)

. (СІ ) (5.1.3’)

Скориставшись теоремою Стокса, отримаємо закон електромагнітної індукції у локальній формі

,

тобто

.

Оскільки форма поверхні довільна, за єдиної умови, що вона обмежена заданим контуром, то рівність нулеві інтеграла означає рівність нулеві підінтегральної функції, тому

; (СГС) (5.1.4)

. (СІ) (5.1.4’)

Формула (5.1.4) описує закон електромагнітної індукції у локальній (диференціальній) формі.

З (5.1.3), (5.1.4) випливає, що індуковане електричне поле має вихрову природу, оскільки циркуляція вектора напруженості його відмінна від нуля. У свою чергу, це означає, що лінії індукованого електричного поля замкнені, тоді як поле , утворене нерухомими електричними зарядами, потенціальне, тобто лінії його розімкнені. Незважаючи на цю суттєву відмінність, та описують єдине електричне поле, адже ці величини визначаються однаковим способом: . Такий підхід відповідає принципу Оккама, який коротко можна сформулювати так: "не утворюй зайвих сутностей". Тобто фізичні поняття та величини необхідно формулювати так, аби вони охоплювали якомога ширше коло явищ. Отже, існує єдине електричне поле, напруженість якого визначається формулою , яке у загальному випадку є суперпозицією потенціального та вихрового електричного поля

. (5.1.5)

Узагальнення поняття напруженості електричного поля не потребує внесення змін в основні рівняння електромагнітної теорії. Дійсно, підставивши (5.1.6) у (5.1.5), одержимо попередній результат, оскільки для потенціального поля . Дивергенція , як і раніше, дорівнює , оскільки для вихрового поля .



следующая страница >>