asyan.org
добавить свой файл
1

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН–ТУ VISNYK LVIV UNIV

Серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer

інформатика. 2001. Вип. . C. -7 Science. 2001. No . P. -7


 УДК 517.947:534

ВИДІЛЕННЯ ОСОБЛИВОСТЕЙ У ПОХІДНИХ ПОТЕНЦІАЛУ

ПРОСТОГО ШАРУ НА РОЗІМКНУТИХ ПОВЕРХНЯХ


М. Дорошенко, В. Жидик

Дрогобицький державний педагогічний університет,

вул.Стрийська,3, 82100 м.Дрогобич, Україна

Розроблено методику виділення особливостей у похідних потенціалу простого шару на розімкнутих поверхнях в осесиметричному випадку.

Ключові слова: диференціальні рівняння, потенціал простого шару, особливості, розімкнуті поверхні.

1. ВСТУП

З математичного погляду задача розрахунку електростатичних полів та траєкторій руху електронів зводиться до розв’язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа та задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

Найефективнішим методом розв’язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа виявився метод інтегральних рівнянь [1,4,5], який полягає в тому, що невідомий потенціал електростатичного поля зображають у вигляді потенціалу простого шару. Тоді в осесиметричному випадку система дифереціальних рівнянь для відшукання траєкторій руху електрона можна записати в такому вигляді:









Праві частини цієї системи є похідними потенціалу простого шару. У разі моделювання траєкторій руху електронів в емісійних електронно-оптичних системах виникає потреба обчислення похідних потенцілу простого шару на розімкнутих поверхнях.

У праці [2] описано ефективний алгоритм обчислення граничних значень похідних потенціалу простого шару в плоскому випадку.

Ми розглянемо алгоритм знаходження похідних потенціалу простого шару на розімкнутих поверхнях в осесиметричному випадку.

2. ВИДІЛЕННЯ ОСОБЛИВОСТЕЙ В ПОХІДНИХ ПОТЕНЦІАЛУ

Нехай твірна розімкнутої поверхні представляється такими параметричними рівняннями:



Функції , за допомогою яких зображають твірну осесиметричної поверхні, є достатньо гладкими. Похідна потенціалу простого шару має особливості на краю розімкнутих осесиметричних поверхонь та особливість у ядрі. Методика виділення особливостей на краю детально описана в [1]. Ми розглядаємо алгоритм виділення особливостей у тому випадку, коли точка спостереження збігається з точкою інтегрування.

Потенціал простого шару на розімкнутій поверхні в осесиметричному випадку запишемо так:



де





Інтеграл має особливість на краю розімкнутої поверхні та слабку особливість у ядрі. Оскільки підінтегральна функція має особливості на проміжку інтегрування, то для обчислення цього інтеграла не можна застосовувати квадратурні формули вищих порядків, наприклад, квадратурну формулу Гаусса.

Ефективний чисельний алгоритм обчислення такого інтеграла запропоновано в [1]. Особливість у густині виділяють за допомогою заміни змінних, а особливость у ядрі – методом Канторовича ослаблення особливості.

Розглянемо алгоритм відшукання похідних потенціалу простого шару на розімкнутій поверхні. Похідні на розімкнутій поверхні в осесиметричному випадку запишемо так:









Похідна набуде такого вигляду:





де













Інтеграл особливості в ядрі не має, і для його обчислення можна використовувати довільну квадратурну формулу. Інтеграл має особливі точки при . Тому його запишемо в такому вигляді:











де

;

;

.

Інтеграли і не мають особливості при . Для їхнього обчислення можна застосовувати довільні квадратурні формули вищих порядків, наприклад, квадратурну формулу Гаусса. Інтеграл має логарифмічну особливість при . Методика обчислення таких інтегралів описана в [1]. Інтеграл має сильну особливість при , запишемо його у такому вигляді:







У праці [2] доведено, що підінтегральна функція в другому інтегралі визначена на проміжку інтегрування, тому він особливості не має, і для його обчислення можна застосовувати квадратурні формули. Перший інтеграл є інтегралом типу Коші, який існує в сенсі головного значення, і його обчислюють так:



Д
ля обчислення першого інтеграла в правій частині можна застосувати довільну квадратурну формулу, а другий інтеграл обчислюють аналітично:



Отже, у похідній особливість виділена. Тепер розглянемо методику знаходження похідної . Запишемо цю похідну в такому вигляді:





Інтеграл особливості в ядрі не має і для його обчислення можна використовувати довільну квадратурну формулу. Доведемо, що інтеграл має логарифмічну особливість при . Запишемо інтеграл в такому вигляді:









де

;

;

.

Інтеграл не має особливості при . А інтеграл має логарифмічну особливість. Методика виділення такої особливості розроблена в [1, 5]. У праці [2] доведено, що інтеграл типу не має особливості при .

Отже, з’ясовано, що похідна має логарифмічну особливість та особливість типу Коші. Нормальна похідна потенціалу простого шару на граничній поверхні має логарифмічну особливість.

Точність знаходження похідних потенціалу простого шару на граничній поверхні залежить від ступеня точності квадратурної формули і від точності відшукання невідомої густини . Невідома густина є розв’язком такого інтегрального рівняння Фредгольма першого роду:



В інтегральному рівнянні  – граничне значення потеціалу на поверхні.

У працях [1, 3] розроблено підхід до розв’язування інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, що полягає в такому:

  1. невідому густину і граничну поверхню зображають за допомогою ізопараметричних перетворень або сплайнів. Особливість у густині виділяють за допомогою заміни змінних, а для виділення особливості в ядрі застосовують метод Канторовича ослаблення особливості;

  2. за допомогою методу колокації розв’язування інтегрального рівняння Фредгольма першого роду зводиться до розв’язування системи лінійних алгебричних рівнянь.

3. ВИСНОВКИ

Виділено особливості в похідних потенціалу на розімкнутих поверхнях в осесиметричному випадку. Для їхнього обчислення тепер можна застосовувати квадратурні формули, наприклад, квадратурну формулу Гаусса.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бакалец В.А., Дорошенко Н.В. Исследование алгоритмов численного решение интегральных уравнений электронной оптики в случае незамкнутых поверхностей // Лучевая технология электронной техники: Моделирование и эксперимент. М., 1988, С. 26-30.

  2. Дорошенко М.В., Дудник О.М., Пушак Я.С. Виділення особливостей у похідних потенціалу простого шару на розімкнутих контурах // Вісн. ДУ «Львівська політехніка». 1997. № 320. С. 63-66.

  3. Дорошенко М.В., Дудник О.М., Пушак Я.С. Два підходи до чисельного розв’язування інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду // Вісн. ДУ «Львівська політехніка». 1998. № 341. С. 103-105.

  4. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

  5. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М., 1986.

DISTINGUISHING PECULIARITIES OF POTENTIAL’S DERIVATIVES OF SIMPLE LAYER ON THE OPEN SURFACES


M. Doroshenko, V. Zhydyk

Drohobych State Pedagogical University

Struiska str,3, Drohobych, 82100, e-mail:fizmat@drohobych.net
New methods of distinguishing of peculiarities of potential’s derivatives of simple layer on the open surfaces in axial-symmetrical case is worked out in the work.

Key words: differetial equations, the potential of the simple layer, peculiarities, open surfaces.

Стаття надійшла до редколегії 18.10.2001

Прийнята до друку

  Дорошенко М.В., Жидик В.Б., 2002