asyan.org
добавить свой файл
1 2 ... 7 8
Потрібно скласти такий план місячного випуску продукції фабрики, що забезпечує максимальний прибуток, тобто визначити, продукцію яких типів і скільки (xj ) варто зробити, якщо ємність ринку за кожним видом продукції складає величину qj.

Якщо позначити обсяг випуску продукції j -го типу через (x), то витрата (a) ресурсів кожного типу ( i = 1, …, m) дорівнюватиме:



При цьому прибуток фабрики від реалізації продукції може бути оцінений як сума прибутку від реалізації продукції (x) кожного типу:

Z(X)  =  cx+ cx+  + cn xn  max.

Організація виробництва потребує пошуку таких значень вектора Х0 = (x1оx2о,…, xnо) розв’язання зазначеної системи лінійних рівнянь, які дозволять максимізувати прибуток підприємства, у тому числі з урахуванням плинності кадрів. Це розв’язання можливе, але потребує ознайомлення із деякою системою математичних понять і категорій. Розглянемо основні з цих понять.

1.2.1. Основні визначення і дії з матрицями


Для компактного подання і наступного розв’язання системи з m лінійних рівнянь (1.23) щодо n невідомих xi:

(1.23)

використовують поняття “матриця”.

Матрицею А розмірності (або розміру) m х n називається прямокутна таблиця дійсних чисел ai j (елементів матриці), які упорядковано розташовані у вигляді m рядків і n стовпчиків.

Матриця A системи складається з коефіцієнтів системи рівнянь (1.23), що стоять при невідомих змінних xj у лівій частині рівнянь.
Це зауваження є істотним для наступних міркувань.

Відзначимо, що в системі рівнянь (1.23) припустимі відомі операції з рівняннями, що не впливають на значення змінних xj, можна: переставити два рівняння (поміняти їх місцями), помножити будь-яке рівняння на число, яке не дорівнює нулю, до одного рівняння додати інше, переставити два стовпчики (поміняти їх місцями). Такі перетворення лише призведуть до відповідних змін у матриці A.

Розширена матриця включає ще і стовпчик коефіцієнтів частин рівнянь, що стоять праворуч.

Варіанти запису матриці можуть мати вигляд розгорнутого запису
(у круглих дужках) і скороченого запису:



Перший індекс ( i ) кожного елемента ai j матриці використовується для вказівки номера рядка, другий індекс ( j ) – для вказівки номера стовпчика.

Число m рядків або n стовпчиків можуть приймати мінімальне значення, яке дорівнює одиниці, тому виникають такі поняття:

матриця-стовпчик розмірності m  1 (або вектор-стовпчик), що має вигляд:

,

матриця-рядок розмірності 1 n (або вектор-рядок), що має вигляд:

A = (a11, a12, . . ., a1n).

Різниця у формі представлення відзначених матриць стає істотною при виконанні операції множення матриць.

Квадратною називається матриця у випадку, коли число її рядків збігається з числом стовпчиків, тобто m = n. Тоді число її рядків називається порядком квадратної матриці. Матриця А порядку n має вигляд:



Головною діагоналлю (або діагоналлю) квадратної матриці називається сукупність її елементів a11a22, …, ai j,…, an n, які розміщені
на відрізку, що з’єднує лівий верхній і правий нижній кути матриці.

Побічною діагоналлю квадратної матриці називається сукупність
її елементів a1na2n–1, …, ai j,…, an1, розміщених на відрізку, що з’єднує правий верхній і лівий нижній кути матриці.

Діагональною називається квадратна матриця А n-го порядку, якщо усі її елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю. При цьому деякі з діагональних елементів також можуть дорівнювати нулю.



Одиничною називається діагональна матриця E, у якої усі діагональні елементи дорівнюють одиниці аi i = 1. Така матриця відіграє роль одиниці
в операціях множення матриць.

Нульовою матрицею (або нуль-матрицею) називається така матриця, у якої усі елементи ai  j = 0 дорівнюють нулю. Така матриця виконує функції нуля і має позначення 0.

Транспонованою матрицею називається матриця, яку одержують
із початкової матриці А розмірності m  n шляхом заміни рядків початкової матриці – її стовпчиками. Позначається транспонована матриця символом АТ і має розмірність n  m:



Якщо транспоновану матрицю транспонувати ще раз, то одержимо початкову матрицю, тобто (АТ )Т = А. Якщо транспонувати вектор-рядок, то одержиться вектор-стовпчик A = (a11, a12, . . ., a1n)Т, що використовується як зручна форма запису.

Рівними називаються дві матриці А = (аi j)m n і B = (bi j)m n однакової розмірності, якщо їх однойменні елементи дорівнюють один одному, тобто:

Аm n = Bm n , якщо аi j = bi j ; i = 1, 2, …, m; j =  1, 2, …, n.

Сумою матриць однакової розмірності А = (ai j)m  n і В = (bi j)m  n називається матриця С = (сi j)m n тієї ж розмірності, елементи якої дорівню-ють сумі однойменних елементів матриць А і В:

сi j = ai j + bi j.

Складати можна тільки матриці однакової розмірності.

Для операції додавання матриць правдиві такі властивості:

  1. А + 0 = 0 + А = А;

  2. A + B = B + A;

  3. A + (B + C)  =  (A + B)  + C.

Різницею матриць однакової розмірності А = (ai j)m  n і В = (bi j)m  n називається матриця С = (сi j)m  n тієї ж розмірності (позначається С = А  В), елементи якої дорівнюють різниці однойменних елементів матриць А і В:

сi j = ai jbi j.

Добутком матриці А = (ai j)m  n на число k називається матриця (kai j)m n, усі елементи якої помножені на це число:

kА = Ak = (k ai j)m  n.

Протилежною для матриці А називається матриця   А = (  1) A. Сума цих матриць дорівнює нульовій матриці:

A + (  А)  = A – А = 0.

Приклад. Знайти суму двох матриць.





следующая страница >>