asyan.org
добавить свой файл
1
Біофізика системи кровообігу

Внутрішнє тертя. Формула Ньютона

Реологія – наука, що вивчає плинність і деформацію речовини, біореологія займається плинністю біологічних середовищ, а гемореологія вивчає реологію крові. Реологічні питання, пов’язані з деформацією і плинністю стоять особливо гостро, коли рідина тече по судинах дуже малих діаметрів. Розглянемо просту модель лінійно в’язкої рідини. Для цієї мети розглянемо тонкий шар рідини, що знаходиться між двома паралельними пластинками, що знаходяться на певній відстані (рис. 2.18):



Рис. 2.18

Вважатимемо одну пластинку нерухомою, а до іншої прикладемо зсовуюче зусилля . Воно зрівноважується з боку рідини силою , яка обумовлена в’язкістю рідини і визначається за формулою Ньютона:



(2.48)

тут – коефіцієнт в’язкості, який дорівнює силі внутрішнього тертя, що діє на одиницю площі поверхні шару при градієнті швидкості, рівному одиниці, – площа дотику шарів рідини, - градієнт швидкості, який визначається відношенням зміни швидкості двох шарів до найкоротшої відстані між ними, відношення називається напругою зсуву



(2.49)

Величина в реології називається швидкістю зсуву, а графік функціональної залежності і показаний на рис. називають кривою плинності.



Рис. 2.19

Рух ньютонівської рідини (в’язкість якої постійна і не залежить від швидкості зсуву) можна описати законом Ньютона. До таких рідин відносяться легеневі гази, вода, сеча, низькомолекулярні рідини графік має вигляд прямої лінії, що проходить через початок координат (рис. 2.19). Тангенс кута нахилу прямої до осі абсцис рівний і є єдиним реологічним параметром для ньютонівських рідин. По аналогії з ньютонівською рідиною для в’язкопластичних рідин вводиться поняття ефективної в’язкості:



(2.50)

Проте для ньютонівських рідин, в’язкість яких залежить від градієнта швидкості наприклад, при дуже малих швидкостях зсуву в’язкість крові зростає, при збільшенні ж швидкості зсуву до зменшується) плинність починається при , після перевищення деякого порогу – межа плинності». Величина характеризує пластичні властивості середовища, а нахил кривої плинності до осі - її рухливість.

Рівняння Шведова-Бінгама для цих рідин має вигляд:



(2.51)

де – структурна в’язкість. Так в аорті , в артеріях , у капілярах . Це реологічний параметр. Збільшення в’язкості крові при малих швидкостях зсуву спостерігається при захворюваннях і після великих травм м’язів. При швидкостях зсуву близьких до плинність крові з достатньою точністю описується рівнянням Кесона



(2.52)

де – межа плинності, – константа, що відповідає квадратному кореню з ефективної ньютонівської в’язкості, що досягається при дуже великих швидкостях зсуву. Ця функціональна залежність показана на рис. 2.20.

Кров починає рухатися коли . Значення параметра Кесона для крові , а .



Рис. 2.20

1 – в’язкість деякої ньютонівської рідини;

2 – в’язкість крові.

Як видно з графіка при великих швидкостях зсуву рівняння Ньютона і Кесона співпадають. Коефіцієнт в’язкості крові в нормі лежить у межах (4, 3-5, 3) Па·с, при патології він змінюється від до . У здорової людини при 37°С коефіцієнти в’язкості плазми і сироватки крові відповідно становлять і .

У чоловіків і жінок в’язкість крові різна. У чоловіків коефіцієнт в’язкості крові у нормі становить , у жінок .

Суттєво змінюється в’язкість крові при деяких захворюваннях. При крупозній пневмонії, бронхіальній астмі, гіпертонічній хворобі, при великих загальних інфекціях, системному атеросклерозі, перитоніті в’язкість крові підвищується і зменшується при черевному тифі, туберкульозі, анемії.
3.2. Швидкість осідання еритроцитів (ШОЕ)

Цей діагностичний метод дає можливість виявити наявність запальних процесів в організмі людини.

У медицині для цього використовують прилад Панченкова, який складається з проградуйованих капілярних піпеток встановлених в штативі. Кров, попередньо змішану з лимонно-кислим натрієм для запобігання її згортання, засмоктують у піпетки і ставлять в штатив. Результат вимірювання відстані на яку зміщуються еритроцити протягом години називають швидкістю осідання еритроцитів (ШОЕ). У нормі (у здорових людей) ШОЕ коливається: для жінок в межах 7-12 мм/год, для чоловіків 3-9 мм/год, що пояснюється різною кількістю еритроцитів у крові чоловіків і жінок.
3.3. Формула Гагена-Пуазейля. Гідравлічний опір

Гаген і Пуазейль дослідним шляхом встановили, що середня швидкість V ламінарного руху рідини по трубі постійного перерізу прямо пропорційна градієнту тиску: (і - тиски на початку і кінці труби довжиною ), квадрату радіуса труби і обернено пропорційна коефіцієнту в'язкості  рідини (закон Гагена-Пуазейля):



(2.53)

Середня швидкість течії рідини визначає кількість рідини , що протікає через поперечний переріз труби за одиницю часу називається об’ємною швидкістю течії рідини:



(2.54)

Формулу (2.54), що встановлює зв’язок між об’ємною швидкістю рідини з різницею тисків на кінцях судини можна переписати так:

,

(2.55)

Величину

Знайдемо швидкість зсуву, використовуючи 2.53.



(2.56)

Враховуючи 2.54:



(2.57)

Тепер на основі отриманої формули можна побудувати криву течії і визначити потрібні характеристики реологічної рідини. Деякі реологічні середовища (легеневі гази, сеча) відносяться до простих ньютонівських рідин.

У процесі старіння організму, а також при певних захворюваннях, надмірному харчуванні, а також при зловживанні алкоголем і курінням виникає атеросклероз – стовщення і ущільнення стінок артерій зумовлених відкладаннями на їх внутрішній поверхні холестеринових бляшок, що веде до звуження просвіту артерій і втрати їхніми стінками еластичності. Оскільки, як випливає з закону Гагена-Пуазейля, гідравлічний опір труби збільшується обернено пропорційно четвертій степені її радіуса, спад тиску у судині зростає у такому ж степені, так як втрата крові в системі залишається постійною. При цьому ускладнюється робота серця. Крім того, зменшення еластичності стінок артерій погіршує постачання кров’ю клітин і тканин.
3.4. Рівняння Бернуллі

Якщо і – відповідно тиски і швидкості у перерізах 1 і 2 труби, – висоти її перерізів відносно деякого рівня, а густина рідини (рис. 2.21), то робота , що витрачається на зміну швидкості і висоти рідини, рівна сумі зміни потенціальної енергії і зміни кінетичної енергії



(2.58)




Рис. 2.21
Для елемента маємо , де – відстань, на яку перемістилася рідина.

Таким чином



(2.59)

Розділивши на ліву і праву частини рівняння, отримаємо



(2.60)

Згрупувавши доданки з однаковими індексами, отримаємо рівняння Бернуллі:



(2.61)

Закон Бернуллі: сума статичного тиску , тиску, зумовленого вагою стовпа рідини і динамічного тиску залишається постійною вздовж лінії течії.

Якщо рідина тече приблизно на одній висоті, h1≈h2, то рівняння Бернуллі спрощується і має вигляд:



(2.62)

Звідси випиває, що у місцях звуження (розширення) потоку рідини швидкість її зростає (зменшується), а тиск понижується (збільшується). І, як наслідок, може розірватися аневризма (розширення ділянки судини), чи відбутися закупорка певної ділянки судини (явище тромбозу), при якому кров починає текти поштовхами і за допомогою стетоскопа можна прослухати шум, що свідчить про порушення циркуляції крові.
3.5. Система кровообігу людини

Система кровообігу людини складається з серця і замкнутих кровоносних судин, що утворюють велике і мале коло кровообігу. Система кровообігу виконує в організмі транспортну функцію: кров транспортує кисень і живлячі речовини від легень і органів травлення до всіх тканин організму; від тканин кров виносить кінцеві продукти обміну до органів виділення.

Основною причиною, що створює цю різницю тисків у кровоносних судинах, є робота серця. Тому серце, яке починає функціонувати вже на 18 день життя у маленькому, не більшому за горошину організмі, по відношенню до судинної системи, можна вважати насосом. Крім роботи серця, рух крові по судинах сприяє скороченню скелетних м'язів і від'ємний тиск в плевральній порожнині (за 0 прийнято атмосферний тиск). При скороченні скелетних м'язів відбувається стискання вен і в силу їх вентильних властивостей (наявність клапанного апарату) відбувається рух крові. Від'ємний тиск в плевральній порожнині сприяє притоку крові до серця по венах.

Робота, виконувана серцем, обумовлена, в основному, лівим шлуночком. Робота правого шлуночка складає 0.15-0.20. від роботи лівого. Робота, виконувана шлуночком, складається з двох компонентів: роботи по нагнітанню крові проти тиску в аорті і роботи на надання крові кінетичної енергії:



(2.63)

Поклавши , ; ; , знаходимо ; .

Доля кінетичної енергії складає близько 1% від загальної роботи серця. Час скорочення шлуночків , потужність . При 70 скороченнях виконаних протягом хвилини робота серця складає 70 Дж, за добу - 10300 Дж., що рівнозначно підйому 100 кг. на висоту 100 м.

Кровоносна система людини - складна замкнута система еластичних трубок різного діаметру (аорти, артерії, артеріоли, капіляри, венули) (рис. 2.22). Від серця кров рухається по аорті - еластичній трубці з м’язової тканини. Чим далі від серця, тим більше розгалужуються судини, відсилаючи у всі органи свої розгалуження - артерії. Діаметр судин зменшується по мірі віддалення від серця. У тканинах органів артерії розгалужуються і перетворюються у дрібні судини - артеріоли, які дають початок незчисленним волосяним судинам - капілярам.

Стінка капіляра має особливий пристрій і нагадує сітку. В отвори, між клітинами, вільно проходять із капілярів у тканини кисень і поживні речовини. Капіляри поступово, збільшуючи свій діаметр, переходять у венули. Венули з'єднуються у вени, які несуть кров у серце. Коло замикається. До місця старту кров повертається, у середньому, через 20 секунд.

Таблиця 1.

Судини

Діаметр, мм

Швидкість, см/сек.

Тиск

Аорта

20

50

50 – 150

Артерії

10 – 5

50 – 20

80 – 20

Артеріоли

0, 1 – 0, 5

20 – 1

50 – 20

Капіляри

0, 5 – 0, 01

0, 5 – 0, 1

20 – 10

Венули

0, 1 – 0, 2

0, 1 – 1

10 – 5

Вени

10 – 30

10 – 20

(-5) - (+5)


Швидкість потоку крові у судині з змінним перерізом обернено пропорційна площі цього перерізу, що слідує з рівняння неперервності:. Судинна система має мінімальний переріз в області аорти. При переході до артерій, артеріол і капілярів сумарна площа судин збільшується і максимального значення досягає в області капілярів (див на рис.).



Рис. 2.22
3.6. Пульсова хвиля

При систолі шлуночка на кров, що знаходиться в початковій ділянці аорти, буде діяти певна сила. Внаслідок інерції, кров не переміститься відразу вздовж аорти. Діюча на кров сила викличе спочатку збільшення тиску на еластичні стінки аорти. В результаті цього ділянка, розташована поблизу серця, розширюється до такої міри, при якій тиск крові буде зрівноважений натягом стінки аорти. Оскільки натяг стінки в цій ділянці аорти більший, ніж у наступній, виникає сила, що переміщає кров із однієї ділянки в іншу. Таким чином, фронт тиску буде поширюватися вздовж судини. Швидкість пульсової хвилі в артеріях визначається рівнянням:



(2.64)

тут - модуль потужності стінки судини, - внутрішній радіус, - товщина стінки судини, - густина крові, - коефіцієнт пропорційності.

При деяких захворюваннях (гіпертонії, атеросклерозі), а також з віком модуль пружності зростає, і швидкість пульсової хвилі збільшується.
3.7. Електрична модель серцево – судинної системи

Еластичність судин можна змоделювати ємністю, увімкнену паралельно омічному опору в електричному полі змінного стуму (рис. 2.23).



Рис. 2.23
тут - джерело змінного струму, моделює роботу серця;

- випрямляч, моделює клапанний апарат серця;

- індуктивність, моделює сили інерції;

- опір, моделює гідравлічний опір судин;

- ємність, моделює еластичні властивості судин.

Еластичність судин призводить до збільшення об'ємного потоку крові і до згладжування пульсації кров’яного тиску.