asyan.org
добавить свой файл
1
Аналогові фільтри.

Теорія лінійних стаціонарних неперервних систем широко використовується при побудові різних частотно-вибіркових кіл. Аналоговим фільтром називається частотно-вибіркове коло, яке забезпечує пропускання сигналів в певних смугах частот і придушуванні в інших. Область частот, в якій фільтр пропускає сигнал, називають смугою пропускання, а область частот в якій послаблення сигналу велике – смугою затримки.
Характеристики неспотворюючої системи.

Яким вимогам повинна відповідати система, яка забезпечує неспотворююче пропускання (проходження, передачу) сигналу?

Перш за все, вона повинна мати постійне затухання для всіх частотних складових сигналу, тобто амплітудно-частотна характеристика системи повинна бути постійна на всіх частотах. Проте виконаття однієї цієї вимоги ще не достатньо, не гарантує відсутності спотворень. Фазовий зсув кожної частотної складової також повинен задовільняти певні співвідношення. Якому співвідношенню повинні задовільняти фазові зсуви складових, щоб спотворення були відсутні?

Для неспотвореного проходження необхідно, щоб відгук був точною копією вхідного сигналу. Допускається відмінність в амплітуді, так як важлива форма, а не величина відгуку. Крім того, вихідний сигнал може запізнюватися в часі відносно початку впливу. Тобто вважаємо, що сигнал передається без спотворення, якщо відгук системи .

З врахуванням властивості часового зсуву перетворення Фур’є в частотній області одержимо



Значить, неспотворююча система повинна мати частотну характеристику



АЧХ цієї системи постійна на всіх частотах і дорівнює , а ФЧХ пропорційна частоті . Оскільки додавання фазового зсуву може привести до зміни лише знаку сигналу, більш строго останній вираз запишеться

, де – ціле число.



Смуга пропускання.

Ступінь постійності системи звичайно характеризують її смугою пропускання. Смуга пропускання системи означається як інтервал частот, в межах якого не стає меншою від свого значення на середній частоті (свого максимального значення ).

В силу існуючих фізичних обмежень систему з нескінченною смугою пропускання створити неможливо. Проте оскільки енергія будь-якого зменшується з ростом частоти, достатньо, щоб система передавала лише ті частотні складові, в яких міститься найбільша частина енергії сигналу.

Фільтри використовують для виділення корисного сигналу із суміші корисних і некорисних (шумових, завад) сигналів. В залежності від взаємного розміщення смуги пропускання і смуги затримки (затримання) розрізняють наступні види фільтрів: фільтр нижніх частот ФНЧ, верхніх частот ФВЧ, смугові СФ, режекторні (загороджуючі) РФ. Крім цих чотирьох основних типів при обробці сигналів знахдять застосування: амплітудні коректори АК, здатній в деякій смузі частот здійснювати як підсилення так і послаблення сигналів; фазові коректори ФК, у яких АЧХ не залежить від частоти, а ФЧХ може змінюватися за заданим законом.

Ідеальна форма АЧХ і ФЧХ цих фільтрів показана на рисунку.




ФНЧ пропускає частоти нищі від деякої частоти зрізу, ФВЧ пропускає частоти вищі від деякої частоти зрізу, СФ – пропускає частоти в діапазоні вони також характеризуються середньою частотою пропускання = і смугою пропускання . РФ – пропускає всі частоти, крім тих, які лежать в деякому діапазоні . Також можуть характеризуватися середньою частотою = і шириною смуги затримки .

Проте ідеальна форма АЧХ не може фізично бути реалізована (Критерій Пелі – Вінера). Тому в теорії аналогових фільтрів розроблено ряд методів апроксимації ідеальних фільтрів, зокрема їх АЧХ.

При проектуванні фільтрів задають границі смуг пропускання і затримання , затухання в смузі затримання і коефіцієнт передачі в смузі пропускання , допуск на відхилення АЧХ від даного вигляду в смузі пропускання .



Відхилення реальної АЧХ фільтра від даного вигляду в смузі пропускання називається нерівномірністю АЧХ. Закон зміни АЧХ в перехідній області не задається. Коефіцієнт передачі звичайно рівний 1. В деяких випадках при проектуванні задаються вимогами до ФЧХ фільтра в області пропускання.

Граничну частоту пропускання називають частотою зрізу. Частота зрізу для різних фільтрів означується по різному. Нерівномірність в смузі пропускання і затухання в смузі затримання задаються в логарифмічному масштабі (децибелах):

, .

АЧХ в вигляді кусково-лінійної апроксимації також не реалізоване. Тому при синтезі фільтрів на першому етапі виконують апроксимацію АЧХ. Таким чином, щоб вона була реалізована і відповідала вимогам на проектування. На практиці широко застосовують апроксимацію АЧХ фільтрами Баттерворта, Чебишева, Бесселя і т.д.

З метою уніфікації загально прийнято застосовувати нормування по частоті, яка приводить розрахунок різних фільтрів (ФВЧ, ФНЧ, СФ, РФ) до нормованого фільтра нижніх частот з граничною частотою пропускання (частотою зрізу) . Перехід від низькочастотного фільтра прототипа здійснюють за допомогою спеціальних перетворень частоти.
Фільтр Баттерворта.

ФНЧ Баттерворта має АЧХ



де – частота зрізу (для фільтра прототипу вона дорівнює ), – порядок фільтра. Коефіцієнт передачі на частоті дорівнює 1, а на частоті зрізу незалежно від порядку фільтра .

похідна по частоті в і в дорівню 0. Тому фільтр Баттерворта називається фільтром з максимальною плоскою вершиною. В цілому АЧХ монотонно спадає від одиниці до нуля при зміні частоти від 0 до .

Порядок фільтра Баттерворта при заданих значеннях і можна визначити із співвідношення





Передаточна функція нормованого ФНЧ -го порядку описується за допомогою співвідношення

. (передаточна функція не має нулів).

де - поліном Баттерворта -го порядку, - полюси .

Полюси для фільтрів Баттерворта визначаються із співвідношення



Полюси розміщені на площині в лівій половині кола одиничного радіуса. Поліноми Баттерворта: , ; , ; ,
Фільтр Чебишева першого роду.

АЧХ фільтра Чебишева має вигляд

,

де частота зрізу, - поліном Чебишева -го порядку, - порядок фільтра, - параметр, який визначає величину пульсацій АЧХ в смузі пропускання. Поліном при коливається в діапазоні , а при необмежено зростає по абсолютній величині. Тому АЧХ фільтра Чебишева в смузі пропускання коливється між значеннями і 1, а поза смугою пропускання моментально затухає до нуля.

На частоті зрізу коефіцієнт передачі дорівнює , тобто рівню пульсацій в смузі пропускання. В порівнянні з фільтром Баттерворта фільтр Чебишева забезпечує більш крутий спад АЧХ в області переходу від смуги пропускання до смуги затримки.

Передаточна функція фільтра також не містить нулів, а її полюси розміщені в лівій половині еліпса площини. Передаточна функція також описується виразом , но полюси розраховуються по іншій формулі



де ;

Коефіцієнт пульсацій при заданому значенні визначається за формулою , порядок фільтра визначають із співвідношення





Фільтр Чебишева другого роду (інверсний фільтр Чебишева)

Функція передачі фільтра Чебишева другого роду має нулі і полюси. Вона зв’язана з функцією передачі фільтра Чебишева 1-го роду наступним чином:



Тут , - функції передачі фільтрів прототипів Чебишева I-го і II-го роду відповідно. Полюси функції передачі фільтрів – прототипів ( і відповідно) зв’язані співвідношенням =.

По цій причині фільтри II-го роду називаються інверсними фільтрами Чебишева.

АЧХ фільтра Чебишева II-го роду описується наступним чином



Тут частота зрізу, поліном Чебишева -го порядку, порядок фільтра, - параметр, який визначає величину пульсацій АЧХ в смузі затримки. Коефіцієнт пульсацій дорівнює



Фільтр Чебишева II-го роду веде себе наступним чином: в смузі пропускання він монотонно затухає, а в смузі затримки коливається між нулем і .

Частотою зрізу Чебишева II-го роду вважається не кінеці смуги пропускання, а початок смуги затримки.

АЧХ функції Чебишева 5-го порядку.






Еліптичний фільтр (фільтр Кауера)

Еліптичні фільтри в певному розумінні об’єднюють в себе властивості фільтрів Чебишева 1-го і 2-го роду, оскільки АЧХ еліптичного фільтра має пульсації заданої величини як в смузі пропускання, так і в смузі затримки. За рахунок цього вдається забезпечити максимально можливу (при фіксованому порядку фільтра) крутизну спаду АЧХ, тобто перехідної зони між смугами пропускання і затримки.

Функція передачі еліптичного фільтра містить як нулі так і полюси. АЧХ описується наступним виразом

.

Тут 1 частота зрізу, n-порядок фільтра, Rn() раціональна функція Чебишева n-го порядку,  і L параметри, які визначають величину пульсацій в смугах пропускання і затримки.