asyan.org
добавить свой файл
  1 2 3 4 5
^

Параболічне інтерполювання.



Для наближеного обчислення інтеграла можно спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом
(3)
і покласти

Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана крива замінюється на параболу - го порядку (3), в звязку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго многочлена частіше всього виконують наступним чином. У проміжку беруть значень незалежної змінної і підбирають многочлен так, щоб при усіх взятих значеннях його значення співпадало зі значенням функції . Цією умовою, як ми знаємо, многочлен визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа:


При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно їх використовувати для будь-якої функції в даному проміжку .

В найпростішому випадку, при , функція просто замінюється сталою , де – будь-яка точка у проміжку , скажемо, середня: . Тоді наближено
(4)
Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

При функція замінюється лінійною функцією , яка має однакові з нею значення при и . Якщо взяти , , то
(5)
і, як легко обчислити,

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.

Менш тривіальний результат отримаємо взявши . Якщо покласти , , , то інтерполяційний многочлен буде мати вигляд
(7)
За допомогою легкого обчислення вираховуємо

і, аналогічно
,

.
Таким чином, приходимо до наближеної формули
.
Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.

Збільшуя степінь інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.




<< предыдущая страница   следующая страница >>