asyan.org
добавить свой файл
  1 2 3 4

Розділ ІІ. Загальні методи розв'язання рівнянь вищих степенів


Застосування теореми Безу

Теорема Безу дозволяє сформулювати практичне правило розкладання на множники лівої частини рівняння з цілими коефіцієнтами:

1) якщо зведене рівняння з цілими коефіцієнтами має цілі корені, то вони містяться серед дільників вільного члена, тому виписуємо дільники вільного члена;

2) перевіряємо, чи не перетворює якийсь дільник ліву частину рівняння в нуль; якщо ліва частина дорівнює нулю, то цей дільник є коренем, тобто многочлен ділиться на ;

3) ділимо многочлен на і подаємо його у вигляді де - многочлен, степінь якого дорівнює n – 1;

4) аналогічно діємо з многочленом .

Приклад. Розв'язати рівняння хі - 4хІ + х + 6 = 0.

1) виписуємо дільники вільного члена: 6 (символ " " означає "ділиться на");

2) з'ясовуємо по черзі, який дільник перетворює ліву частину рівняння в нуль: (-1)і - 4(-1)І - 1 + 6 = -1 – 4 – 1 + 6 = 0, = -1 – корінь рівняння;

3) ділимо ліву частину рівняння на х + 1:

0Отже, хі - 4хІ + х + 6 = (х + 1)(хІ - 5х + 6) = 0;

4) розв'язавши рівняння другого степеня хІ - 5х + 6 = 0, знаходимо

Відповідь: -1; 2; 3.

Застосування схеми Горнера.

Ділення многочлена на лінійний двочлен можна виконувати за допомогою схеми Горнера, яка дозволяє знаходити коефіцієнти многочлена (n 1) степеня

a ... Коефіцієнти многочлена (n-1) степеня (частки)ОстачаУ частці отримуємо многочлен (n -1) степеня і остачу .

Таким чином, якщо остача bn=0, то число a є коренем многочлена.

Приклад. Розв'язати рівняння

Виписуємо дільники вільного члена: 1; 2; 4; 8; 16; 32. Перевіримо за допомогою схеми Горнера які з даних чисел є коренями рівняння.
12-12-832111·1+2=31·3+(-12)=-91·(-9)+(-8)=-171·(-17)+32=15-11-1·1+2=1-1·1+(-12)=-13-1·(-13)+(-8)=5-1·5+32=27212·1+2=42·4+(-12)=-42·(-4)+(-8)=-162·(-16)+(-32)=0

Отже x = 2 це корінь рівняння.

Таким чином початкове рівняння можна представити у вигляді

Тепер схему Горнера можна застосувати до многочлена третього степеня, виключивши з перевірки числа 1. Число 2 потрібно перевірити ще раз оскільки воно може бути кратним коренем. В результаті отримаємо такі корені: -4; -2; 2.
Рівняння з раціональними коренями.

Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами і має корінь де - нескоротний дріб, то - дільник вільного члена , а - дільник старшого коефіцієнта

Приклад. Розв'язати рівняння 12хі - 32хІ + 25х 6 = 0.

1) корінь рівняння шукаємо у вигляді нескоротного раціонального дробу , де - дільник вільного члена: дільники старшого коефіцієнта: Тоді можливі корені слід шукати серед чисел:



Перевірку коренів можна зробити за допомогою теореми Безу, але обчислення вимагають досить багато часу (особливо якщо це рівняння степеня більшого за третій). Дещо швидче це можна зробити за допомогою схеми Горнера. Але перед цим кількість чисел, серед яких знаходяться можливі корені, потрібно зменшити. Для цього скористаємось такою теоремою.

Теорема. Для того щоб нескоротній дріб був коренем рівняння , необхідно, щоб для довільного цілого числа m, число f(m) ділилось на (p-mq), якщо тільки (p-mq) 0.

Розв'яжемо попередній приклад користуючись даною теоремою.

12хі - 32хІ + 25х – 6 = 0.

. ()

Нехай m= 1, тоді





Отже серед чисел () (крім 1) коренями можуть бути лише ті, для яких дріб є цілим числом. Тобто при m= 1 числа і повинні бути цілими одночасно.

Робимо перевірку ( при перевірці від'ємних коренів знак "-" потрібно враховувати для p або q.

(ціле число),

(ціле число). Отже можливий корінь рівняння.

Перевіряємо наступні числа:

(не ціле число)

Отже не може бути коренем рівняння.

Таким самим чином перевіряються наступні можливі корені, причому перевірку досить легко робити усно. Наступна перевірка показує, що коренями можуть бути такі числа: . Тепер отримані числа значно швидше перевірити за допомогою схеми Горнера.

Відповідь: .

Метод невизначених коефіцієнтів.

Суть цього методу полягає в тому, що вигляд множників-многочленів, на які розкладається ліва частина рівняння, заздалегідь відомий.

Цей метод спирається на такі твердження:

1) два многочлени тотожно рівні тоді, й тільки тоді, коли рівні їхні коефіцієнти при однакових степенях

2) будь-який многочлен третього степеня розкладається на добуток двох многочленів: многочлена першого і многочлена другого степеня;

3) будь-який многочлен четвертого степеня розкладається на добуток двох многочленів другого степеня.

Приклад. Розв'язати рівняння хі - 3хІ + 4х 2 = 0. (1)

Будемо шукати многочлени і такі, щоб виконувались тотожність

. (2)

Розкривши дужки в правій частині тотожності (2) та звівши подібні члени, дістанемо:

(3)

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях у лівій і правій частинах нерівності (3), одержуємо систему рівнянь для знаходження тобто введених невизначених коефіцієнтів, які вважаються цілими числами.



Оскільки і цілі числа, то знайдемо всі можливі пари цих чисел:



Перевіряємо ці пари підставляючи в (*). Єдина пара, що задовольняє умові: .

Розв'язуючи далі систему в цілих числах, дістанемо

Підставивши знайдені невизначені коефіцієнти в (2), дістанемо рівняння розв'язком якого є

Приклад. Розв'язати рівняння х + х - 4х - 5х 5 = 0, (1)

якщо два його корені рівні за модулем, але протилежні за знаками.

Розв'язання: якщо два корені відповідають указаній умові, то маємо такий розклад рівняння (1) з невизначеними коефіцієнтами: (2)

Прирівнюючи коефіцієнти лівої і правої частин тотожності (2) при однакових степенях маємо систему рівнянь:



Розв'язуючи систему рівнянь, знайдемо

Отже,

Звідки маємо

Приклад. Розв'язати рівняння ()

За допомогою схеми Горнера легко переконатись, що жоден із дільників вільного члена не є коренем рівняння. Це означає, що рівняння не має раціональних коренів.

Рівняння () представимо у вигляді добутку двох квадратних тричленів із цілими коефіцієнтами:

()

Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки: ()

Рівняння () і () тотожні, якщо коефіцієнти при однакових степенях x рівні. Прирівнюємо коефіцієнти і отримуємо систему:



Із отримаємо такі можливі пари чисел:



Підставляючи дані пари чисел в систему знаходимо коефіцієнти a і c . Отже маємо: a=-1; b=-1; c=2; d=-4.

Тоді рівняння () запишемо у вигляді () із відомими коефіцієнтами: .

Дане рівняння еквівалентне сукупності рівнянь: .

Розв'язавши їх отримаємо корені: ; .

Розділ ІІІ. Стандартні типи рівнянь та методи їх розв'язання.

У багатьох випадках за допомогою заміни в рівнянні певного виразу, який залежить від через або іншу змінну можна одержати рівняння, степінь якого нижча, ніж заданого, і ліву частину рівняння тоді можна легко розкласти на множники або звести рівняння до квадратного відносно .

Розглянемо деякі типи рівнянь, структура яких дозволяє застосовувати стандартні прийоми пониження степеня або зводити їх до квадратних шляхом заміни змінних.

Двочленні рівняння.

Двочленними називаються рівняння виду де

Поділивши обидві частини такого рівняння на дістанемо зведене двочленне рівняння

де

Розв'язуючи двочленні рівняння, покладають і зводять ці рівняння до простіших:

або

Загальний спосіб розв'язування таких рівнянь полягає в розкладанні лівої частини рівняння на множники.

Приклад. Розв'язати рівняння х - 16 = 0.

Розв'язання:

звідси

Тричленні рівняння.

Тричленним називають рівняння виду

Тричленне рівняння заміною зводиться до квадратного рівняння звідки знаходимо і Підставивши в рівняння замість його значення і дістанемо два двочленні рівняння n-го степеня.

Приклад. Розв'язати рівняння х - 9х (1)

Розв'язання: вводимо заміну (2)

Підставляючи (2) в (1), одержуємо і =1; Значення підставимо в (2) і одержуємо два двочленні рівняння і

Звідки остаточно маємо

Рівняння четвертого степеня, до якого входять лише парні степені невідомого, називається біквадратним. Його записують так:

(1)

Як бачимо, біквадратне рівняння є частковим випадком тричленних рівнянь при n=2. Біквадратні рівняння зводяться до квадратних заміною (2)

Підставивши (2) в (1), будемо мати:

Формула розв'язку біквадратного рівняння має вигляд:



Приклад. Розв'язати рівняння х -5х + 4 = 0. (1)

Розв'язання: вводимо заміну (2)

Підставивши (2) в (1), будемо мати:

Звідки Значення підставляємо в (2) і остаточно дістаємо

Зворотні рівняння.

Рівняння виду де – довільні сталі числа, називається зворотнім рівнянням парного степеня, якщо виконуються умови:

; ; ()

Дане рівняння розв'язується шляхом почленного ділення на (оскільки ). Після чого члени рівновіддалені від середини попарно групуються. Далі робиться заміна і всі члени рівняння виражаються через цю заміну. Можна легко показати, що

()

Після заміни отримуємо рівняння нижчого степеня.

Приклад. Розв'язати рівняння

Перевіряємо умови ():



Отже це зворотне рівняння четвертого степеня, де .

Поділимо почленно ліву частину на .





Згрупуємо рівновіддалені від середини члени:



Робимо заміну , тоді враховуючи (), маємо:





Повертаємось до заміни:



Відповідь:

Рівняння виду

де

– довільні сталі числа, називається зворотнім рівнянням непарного степеня, якщо виконуються умови:

; ; ()

Дане рівняння має корінь

Після ділення лівої частини рівняння на отримаємо зворотне рівняння парного степеня.

Приклад. Розв'язати рівняння .

Перевіряємо умови ():







Отже це зворотне рівняння непарного степеня де . Тоді один із коренів цього рівняння . За схемою Горнера можна поділити многочлен на і отримаємо таке рівняння:



Прирівнявши другий множник до нуля отримаємо зворотне рівняння парного степеня.

Рівняння в яких коефіцієнти рівновіддалені від кінців рівні називаються симетричними. Симетричні рівняння є частковим випадком зворотних рівнянь при Вони мають такий загальний вигляд: де .

Наприклад,

Симетричне рівняння має таку властивість: якщо число є його розв'язком, то обернене число також є розв'язком.

Симетричне рівняння може бути як парного, так і непарного степеня. Симетричні рівняння непарного степеня завжди мають корінь -1. Крім симетричних рівнянь також є кососиметричні, в яких коефіцієнти рівновіддалені від кінців і рівні за абсолютною величиною. Але при парних степенях знаки цих коефіцієнтів однакові, а при непарних степенях - протилежні. Наприклад, - кососиметричне рівняння.

Методи розв'язання симетричних та кососиметричних рівнянь збігаються з методами розв'язання зворотних рівнянь.

Кубічні рівняння.

Розглянемо метод розв'язання кубічних рівнянь виду

(1)

Звертаємо увагу на те, що це неповне кубічне рівняння, бо в ньому відсутній член зі змінною у квадраті. Для розв'язання таких рівнянь будемо користуватися підстановками:

Вираз (3) перепишемо інакше: (4)

Підставимо в (1) вираз (2) і дістанемо:

або





(5)

У рівнянні (5) згідно (4) вираз у других дужках дорівнює нулю.

Тому маємо: (6)

З другого боку з (3) випливає (7)

Рівняння (6) і (7) показують, що числа і згідно з теоремою Вієта є коренями квадратного рівняння (8)

звідки знаходимо і Тоді маємо і А тоді згідно з (2)

Приклад. Розв'язати рівняння: 2хі - 6х = -5.

Розв'язання: приведемо рівняння (1) до стандартного вигляду:

Покладемо Тоді

Складаємо квадратне рівняння відносно або

звідки Тоді

Розглянемо метод розв'язання повних кубічних рівнянь.

Повним кубічним рівнянням називається рівняння виду

(1)

де кожний коефіцієнт не дорівнює нулю. Такі рівняння заміною (2) де - дійсне число зводяться до неповних кубічних рівнянь, у яких відсутній член з і далі розв'язуються відносно так, як для кубічних рівнянь виду . Підставляючи значення у (2), знаходимо розв'язки рівняння (1).



<< предыдущая страница   следующая страница >>