asyan.org
добавить свой файл
  1 2 3 4 5

Лінійність


Лінійній комбінації оригіналів відповідає така ж лінійна комбінація зображень, тобто якщо , , - постійні числа, то .

Використовуючи властивості інтеграла, знаходимо

Приклад 17.1.4. Знайти зображення функцій ( — будь-яке число), , .

○ Користаючись властивістю лінійності, формулою (17.1.3), знаходимо:
, (17.1.5)

Аналогічно отримаємо формулу . (17.1.6)
Далі тобто .

Нарешті,

тобто (17.1.7)

Аналогічно отримаємо формулу (17.1.8) ●
    1. Подібність


Якщо , то множення аргументу оригіналу на додатне число λ приводить до ділення зображення та його аргументу на це число.

По формулі (17.1.1) маємо

[поклавши ]



(так як немає різниці, якою буквою позначена змінна інтегрування).

Наприклад, нехай Тоді

Зсув (згасання)

Якщо , , то , тобто множення оригіналу на функцію спричиняє зсув змінної .

В силу формули (17.1.1) маємо

.
Завдяки цій властивості можна розширити таблицю відповідності між оригіналами і їх зображеннями:

(17.1.9)
, (17.1.10)





Приклад 17.1.5. Знайти оригінал по його зображенню



○ Перетворимо даний дріб так, щоб можна було скористатися властивістю зсуву:





(Див. формули (17.1.9), (17.1.10) і властивість лінійності.) ●

Запізнювання

Якщо , , то , тобто запізнювання оригіналу на додатну величину приводить до множення зображення оригіналу без запізнювання на .

Поклавши , отримаємо





Пояснимо термін «запізнювання». Графіки функції і мають однаковий вигляд, але графік функції зсунутий на одиниць вправо (див. рис. 16). Отже, функції і описують той самий процес, але процес, описуваний функцією , починається з запізненням на час .



Рис. 16 Рис. 17

Властивість запізнення зручно застосовувати при відшуканні зображення функцій, що на різних ділянках задаються різними аналітичними виразами; функцій, що описують імпульсні процеси.

Функція називається узагальненою одиничною функцією (див. рис. 17).

Так як , .

Функція яка запізнюється можна записати так:

Приклад 17.1.6. Знайти зображення .

○ Для того щоб бути оригіналом, функція повинна задовольняти умовам 1-3 (див. п. 17.1.1). Тому початкову задачу можна розуміти двояко. Якщо розуміти функцію як тобто (див. рис. 18.а), то, знаючи, що (див. формулу (4.4)), , використовуючи властивість лінійності, знаходимо

.



Рис. 18 Рис.19

Якщо ж розуміти функцію як тобто (див. рис. 18.б), то, використовуючи властивість запізнення, знаходимо .●

Приклад 17.1.7. Знайти зображення функції

○ Дана функція описує одиничний імпульс (див. рис. 19), який можна розглядати як різницю двох оригіналів: одиничної функції і узагальненої одиничної функції . Тому

Приклад 17.1.8. Знайти зображення функції



Рис. 20



○ Функція-оригінал зображено на рис. 20. Запишемо її одним аналітичним виразом, використовуючи функцію Хевісайда та :



тобто



Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:



Зображення функції буде дорівнює



Зауваження.

1. Зображення періодичного оригіналу з періодом, рівним Т, є



2. Властивість випередження

застосовується про значно рідше.



<< предыдущая страница   следующая страница >>